Voyons maintenant quelles conclusions on peut tirer

(') Ces notions peuvent s'étendre : si par exemple on suppriiuo de (\) tous les points à gauche de a, les nombres Ln, l„ deviendront les bornes supérieure et inférieure à droite de la fonction en a. L» — h sera l'écart à droite, en a. On définirait de même la borne supérieure ou inférieure et l'écart à gauche. Lo lecteur trouvera dans la thèse de M. Ikiirc d'autres extensions des mêmes idées, beaucoup plus profondes.

•i36 1M1U)I>UCTI0N A L.\ THÉORIE DES FONCTIONS

de la siipposilion snivanlo : rcnsomble (\) dans lequel la fonction f{x\ est déterminée étant borné (en haut et en bas), l'ensemble ( \ ) des valeurs de celte fonction dans (\) n'est pas borne, en baut, par exemple : en d'autres termes, quel que grand que soit un nombre donné P, il y a, dans (X), des valeurs de x pour lesquelles on n/{x) >> P.

Je vais montrer que, dans ces conditions, l'ensemble (\) admet au moins un point d'accumulation A-, qui peut d'ailleurs appartenir à (X) ou ne pas lui appartenir, dans le voisinage duquel la fonction /{x) dépasse tel nombre qu'on voudra; en d'autres termes, quelque grand que soit le nombre positif P, quelque petit que soit le nombre positif c, il y a des valeurs de x appartenant à (X) pour lesquelles on a à la fois | x — A | <1 £, f{x) > P. Bien entendu, il ne faut pas en conclure lim./(.B) = H-X) ; car il peut y avoir,

dans le voisinage du point k, des valeurs de x pour lesquelles la fonction y(j;) ne soit pas grande.

Soit en effet £ un nombre positif quelconque, qu'on supposera comme plus haut, inférieur à un nombre fixe A : par hypothèse, il y a dans l'ensemble borné (X) des points pour lesquels la valeur

de f{x) est supérieure à -, et cela quelque soit c : désignons

par 8 (s) l'ensemble de ces points. On voit de suite que les ensembles 8(î) satisfont aux conditions du n° 156 : il y a donc des points A: formant un ensemble }", (o) qui sont communs à tous ces ensembles, ou qui sont pour chacun des points d'accumulation. La première iiypothèse est inadmissible : si le point k appartenait à tous les ensembles 8 (c), lesquels sont contenus dans (X), le point k appartiendrait à (X) et la fonction /(x) aurait une valeur déterminée f[k) en ce point, on ne pourrait donc avoir,

pour X = A-, f[x) > -, en prenant s •< 777-. ; k est donc un point

d'accumulation pour tous les ensembles 8(c), donc aussi pour (X), et l'on voit qu'il y a des points x appartenant à (X), aussi voisins qu'on le veut de k, et pour lesquels f[x) est aussi grand qu'on le veut.

Il n'y a d'ailleurs que les points A de l'ensemble 8(0) à pouvoir jouir de cette propriété. Car si A' n'appartient pas à l'ensemble 8(0), on peut affirmer l'existence de deux nombres positifs z, al tels que

CHAIMTUK IV. DES lONCTIONS EN Gl-NKHAL 2^7

dans l'Intervalle (// — a', le' -+- a') ne se trouve aucun [)oint des ensembles 8 (î) qui correspondent à des valeurs de • inférieures ou égales à ï ; pour les valeurs de .r qui appartiennenl à cet intervalle,

/"(j) ne peut dépasser -•

Il est clair que la fonclion/fx) ne peut avoir de limite au point/.-; si le point h appartient à \\), ce cpii arrivera nécessairement si (X) est clos, la fonction /(,/•) ne peut être continue on ce point. Ainsi :

Une fonction fix) déterminée dans un ensemble clos (X) et continue en chacun des points d'accunuilalion de cet ensemble y est nécessairement bornée.

161. — Il y a des coijclusions analogues à tirer de la supposition suivante ; le nombre h est un point d'accunmlation de l'ensemble (Y) des valeurs distinctes que prend la fonction /(a;) dans l'ensemble borné (X).

Excluons d'abord le cas où le point h fait partie de (Y) c'est-àdire où il y a dans (X) une valeur de x pour laquelle on a/(a") = 6.

Soit c une variable positive, qui reste, si l'on veut, inférieure ou égale à un nombre fixe A. Quelque petit que soit î, il y a dans {\) des nombres dont la différence avec b est moindre que £, ou, ce qui revient au même, il y a dans (X) des nombres x pour lesquels on a I f{x) — b\ <; c. Soit 8 (s) l'ensemble de ces nombres x; on reconnaît de suite que l'ensemble B (c), défini pour chaque valeur positive de ô, satisfait aux conditions du n° 156, en sorte qu'il existe un ensemble 8 (o) de points k dont chacun appartient à tous les ensembles 8(c) ou est, pour chacun de ces ensembles un point d'accumulation. La première supposition est inadmissible, car le point k appartenant à tous les ensembles 8 (s), on aurait \ f{k) — b I <; î, quelque petit que fût £, ce qui exige /(A) = b, contrairement à l'hypothèse. Le point k est donc un point d'accumulation de tous les ensembles 8 (s) et par suite de l'ensemble (X), qui les contient. On voit qu'il y a. dans (X), aussi près qu'on voudra du point k. et quelque petit que soit le nombre positif -, des points pour lesquels on a | flx) — /> | <; £. Il ne faut pas en conclure \ïm. fix) = b, puisqu'il [)oul \ avuir aus^-i, dans le voisinage

de k, des points pour lesquels /(.r) dillèic nolablciucul de x.

Si le point II était toujours un point d'accumulntion do (Y), mais en même temps un point de (Y), il sufTirait, pour s'assurer que les conclusions précédentes subsistent, d'appliquer les raisonnements précédents à l'ensendjlc (X') que l'on déduirait do (X) en en supprimant tous les points x pour lesquels on a f{^:r) = /> et à l'ensemble (Y') que l'on déduit de (\) en en supprimant b : h reste un point d'accumulation de (\'), et cet ensemble est formé des valeurs distinctes de la fonction f(x) dans l'ensemble borne (X'), etc.. Les raisonnements ne tomberaient en défaut que si (X') n'existait pas, c'est-à-dire si l'on avait f(^x) = b pour toutes les valeurs de x appartenant à (X) ; dans ce cas (Y) se réduirait à b, qui ne serait donc pas un point d'accumulation.

Enfin, on voit comme précédemment que les points do l'ensemble 8 (o) sont seuls à jouir do la propriété qu'on a démontrée appartenir au point h\

Si l'ensemble (X) est clos, il contient tous les points k ; si, en outre, la fonction f{x) est continue pour cbacun de ces points d'accumulation, il faut que l'on ait lim. /{■'') =/(A). il faut donc

que/(/v) soit égal à 6 ; en d'autres termes l'ensemble {\) contient le point b ; l'ensemble (Y) contient tous ses points d'accumulation ; on a déjà démontré qti'il est borné : il est clos. Ainsi :

Si une fonction f[x) est déterminée dans l'ensemble clos (X), et si elle est continue en chacun des points d'accumulation de cet ensemble, l'ensemble (Y) des valeurs distinctes qu'elle prend dans (X) est fini ou clos. En particulier, cet ensemble (Y) contient sa borne supérieure et sa borne inférieure ; c'est dire qu'il y a dans (X) une valeur de x qui fait acquérir à f{x) une valeur égale à sa borne supérieure dans (X), une valeur de x qui fait acquérir à /(a-) une valeur égale à sa borne inférieure dans (X).

162. — Une fonction f(x) dclermince dans un ensemble clos(X), continue en chaque point d'accumulation de cet ensemble est dite continue dans l'ensemble (X).

Je vais montrer qu'elle est uni forme ment continue dans cet ensemble, c'est-à-dire qu'à chaque nombre positif a, si petit qu'il soit, correspond un nondore positif a tel que l'on ait \f{-i'') — f{x) \ <i 7., sous la seule condition que x, x appartiennent à (X) et que l'on

Al'ITUE IV. — DES l'0?(CTI0>5 EN UÉ.VÉIUL '2'iÇ)

ail I y — :r I <; fi,. Remarquons quo si l'on se donno y., ot un point d'accninulatlon .r' do l'cnscinhlr (\), l'cxislcnce du nombre fj résulte de ce que l'on suppose la lonclion continue en ./;' ; mais la valeur de f-i semble devoir dépendre de .r' : la proposition énoncée revient à dire que a étant donné, il existe un nondjrc [j qui ne dépend pas de x' : en outre, il n'est pas nécessaire de spécifier que x' est un point d'accumulation.

Si, la fonclion /(./•) n'était pas imiformémcnt continue au sens qu'on vient de dire, c'est qu'il exislerail un nombre positif f^/ jouissant de la propriété suivante : quelque petit que soit le nombre positif £, il Y a dans (X) des points x, x' dont la distance est moindre que £, et pour lesquels on a | /(•'') — /{■'') | ^ « ; on voit de suite en eiTet que nier l'existence du nombre n c'est aflirmer qu'à chaque nombre positif n' correspond un nombre positif i tel qu'on ait ) f{x) — /(•'•') | < ^i' sous la condition \ x — x' \ <C c.

Je vais donc supposer l'exislencc du nombre n, sans rien supposer de plus sur la fonction /(•''), déterminée dans l'ensemble clos (X), les conclusions qu'on en tirera seront incompatibles avec la continuité de celte fonction.

Soit c une variable positive : par hypothèse il y a des points x de (X) auxquels on peut associer des points ./;' de (X) tels que l'on ait à la fois | ,// — •» | < £, \fix') — f{x) \^a. Soit g (s) l'enscndjle de ces points ; on notera, en passant que l'ensemble 8 (c) contient en même temps les points x et x'. Les ensembles 8 (;) vérifient encore les conditions du n" 156; on en conclut l'existence de points k, formant un ensemble 8 (o), dont chacun appartient à tous les ensembles 8 (î) ou est un point d'accumulation pour tous ces ensembles.

Soit k un point de rctisemblc 8 (o) : par hypothèse, quelque soit c, il y a dans (X) et aussi près qu'on veut de k, des points X, x' dont la distance est moindre que £, et pour lesquels on a \f{.rJ) — f{x) I > a; l'un de ces points peut coïncider avec /c ; mais, dans tous les cas, il est impossible que la fonction /(.r) ait une limite au point k.

Puisque, si près qu'on veut dti point k, il y a des points de (X), k est forcément un point d'accumulation de (X), qui appartient donc à (X), si cet ensemble est clos. II est impossible que la fonclion/(x) soit continue en ce point.

J'ai dit plus haut qu'il est inutile do spécifier, dans la définition de la continuité, que le point ,/■' est un point d'accumulation : cela tient à ce que, lorsqu'il en est autrement, la condition ! •'' — .1^' 1 <C ["J ne peut être vérifiée que pour x = x' quand j6 est suffisamment petit.

En résumé, si la fonction /(.'•), déterminée dans l'ensemble clos (X), est continue en chaque point d'accumulation de (X), elle est bornée dans cet ensemble ; l'ensemble (Y) de ses valeurs distinctes est clos ; la fonction f{x) est imilormémcnt continue dans (X) (').

163. — La fonction /(./;), déterminée dans l'ensemble (X), est dite croissante dans cet ensemble si l'inégalité x > x' , où x et x' sont deux éléments de (X) entraine toujours rinégalité/(.r) >-/(-^'),

ou, ce qui revient au même, si le rapport-- ; '' r — - est toujours

positif, pourvu que x et x' soient deux nombres distincts de (X) ; la fonction est dite décroissante dans (X), si le précédent rapport est toujours négatif. Si la fonction y (.r) est ou croissante, ou décroissante, dans (X), la correspondance entre l'ensemble (X) et l'ensemble (\) des valeurs de /"(c) est parfaite.

Si, quels que soient les nombres distincts .r, .r' appartenant à (X)

le rapport-^ — -' , — - n'est jamais négatif, je dirai que la fonction f{x) est non-décroissante; si le précédent rapport n'est jamais positif, je dirai que la fonction /(.r) est non-croissante (").

Si l'ensemble (X) est borné et contient ses bornes M, m ; il est clair que les quantités /' (iM), f{in) seront les bornes supérieure et inférieure de la fonction f{x^, si elle est non-décroissante ; ses bornes inférieure et supérieure, si elle est non-croissante.

Si la fonction f[x) est non-décroissante ou non-croissante, dans (X) et si, en désignant par x' , x" deux nombres distincts appartenant à (X), on a/( V) =:f(^x") la fonction/(j;) prendra la même valeur poin- tout nombre .:c"' appartenant à (X) et compris entre x et x".

(•) Cf. Jordan. — Cours d'Analyse, t. I, p. 5i.

(2) Ces expressions, au point de vue grammatical, sont quelque peu incorrectes. L'épithète « non-croissante », par elle-même, veut dire seulement que la fonction /(a:) n'est pas croissante ; on lui a donné plus haut une signification plus précise.

ClIAI'ITIli; IV. DliS lONCTIONS K.N liKNKU.VI. 2/H

164. — Les notions et les propositionsqulpircèdent s'a[)pIi(|iiont au cas où l'cnscinlile (X) dans lequel la fonction /(./•) est délcrniinccest un intervalle [a, h). Il convient toutefois de s'anèter un peu sur ce cas, en raison de son importance.

C'est d'abord de la continuité que je m'occcu|)orai.

La fonction f{.r), déterminée dans l'intervalle (a, i). est dite continue en un point .r^ de cet intervalle si à chaque nombre i, si petit qu'il soit, correspond un nombre positif v; tel que l'une des conditions suivantes soit vériliée :

1" On a I/O'') — f{j.\) I < î pour toutes les valeurs de .c qui appartiennent à l'intervalle {a, 6) et qui satisfont à la condition

■2" On a I /[.Tq -+- Wt) — /C^o ' I ^ ^ P^"'' t<J"^cs les valeurs, de 0 qui appartiennent à l'intervalle (o, i) si Xo est égal à « (< b), à l'intervalle ( — i, o) si x^ est égal à h, à l'intervalle ( — i, i) si Xq n'est ni a, ni b.

3" Dans tout intervalle (a', //') contenu dans l'intervalle (a, b), contenant x^ et dont l'écart est moindre que c, l'écart de la fonction est moindre que z.

La première définition, en se rappelant que tout point d'un intervalle est un point d'accumulation de cet intervalle revient à celle du n" 152; la seconde et la troisième s'y ramènent inuuédlatenient.

Conformément à ce qui a été dit au n" 162, on dira qu'une fonction est continue dans l'intervalle (a, b) si elle est continue pour chaque point de cet intervalle. Elle est alors uniformément continue dans cet intervalle, c'est-à-dire qu'à chaque nombre positif; correspond un nombre positif/^ tel que l'on ait \f{x) — /(•'") I <^ î> pourvu que les [)oints ./■, .'' a[)partiennent à l'intervalle {a, b) et soient à une distance moinche que T/ (').

Si la fonction f{x) est continue dans l'intervalle (a, b), on peut partager l'intervalle (a, b) en un nombre fini d'intervalles partiels assez petits [)0ur que dans chacun d'eux l'écart de la fonction soit

(') Si l'on ne vent parler f|uc de fondions (h'^Hnies dans un intervalle, on peiit prendre ce rpi'on vient de dire pour la définition do la continuité ilans un intervalle : il est clair (jue si une fonction est continue dans un intervalle (en ce sens), elle est continue en chaque point <lo riiilcr\allo. La dénionstraliou de la réciproque est indispensable.

Tamsery I. — Intruduvtion à la lliéoiii' de? roiiclion:' 16

2|2 IMUODl CTION A I,\ TIlÉOUHi DES FONCTIONS

iiumulrc (jiie toi n(>inl)ro j)osilif £ que l'on vomira. ll('clproi|iicincnl, s'il en est ainsi, la fonction /(.r) est continue dans l'intervalle (a, h).

Si la fonction y (^.c) est continue dans l'intervalle (a, h) elle est continue dans tout ensemble clos (X) contenu dans {a, h).

Le lecteur se rendra compte immédiatement de limporlance pratique des fonctions continues en pensant que ce sont les seules dont on puisse calculer une valeur approchée quand on ne connaît la variable qu'approximativement.

165. — Les notions précédentes seront étendues plus tard aux fondions de deux variables. Je veux toutefois, pour la commodité de ce qui suivra, définir de suite la continuité d'une telle fonction y(.f, r) dans le cas où celle-ci est déterminée pour tous les systèmes de deux nombres x, y vérifiant les conditions a -^x <a', b <y < h' (n"154).

La fonction /(.ç, y) est continue dans l'ensemble (XY) de ces systèmes, si à chaque nombre positif £ on peut faire correspondre un nombre positif 7; tel que l'on ait

sous les conditions

dont les dernières expriment simplement que le système de nombres x, y appartient à l'ensemble (XY). En supposant toujours vérifiées ces dernières conditions, il reviendrait au même de dire qu'au nombre positifs on peut faire correspondre deux nombres positifs a, fj tels que l'on ait ! f{x', y') — f{x, y) \ <i ^ sous les conditions | ./; — x' | ■< a, \ y — y' | <C [j, puisqu'on pouri-ait prendre le nombre y; égal au plus petit des nombres y., fj.

SI la fonction f{x, y) est continue dans l'ensemble (X\) précédemment défini, et si l'on attribue à y une valeur fixe y^,, appartenant à rinter\alle(6, b'), il est clair que f[x, j^,) sera une fonction continue de la variable ./• dans l'intervalle (a, a'). De même si on attribuait à .r une valeur fixe .'-q appartenant à l'intervalle [a, a'), f{x.y. Y) serait une fonction de y continue dans l'intervalle (b, b') ; mais II ne faudrait pas conclure la continuité de la fonction de deux Aariablesy*(^.', y] de la continuité de chacune des fonctions