Les résultats précédents s'appliquent à chaque point

CHAPITUK IV. — ORS FONCTIONS EN GÉNÉRAI, 2."i5

d'arnimulalion a de l'ensomble (X), pourvu que la Çonrùon f{.v) soit bornée aux environs de ce point.

Par conséquent, si l'on suppose que l'ensemble (X) dans lequel la fonction /(x) est déterminée soit clos, et que la fonction /(x) soit bornée dans cet ensemble, on pourra altaclior à chaque point d'accumulation a un certain ensemble i'.^ (o), dont on a expliqué les propriétés au n° 157, et en particulier les bornes La, /„ de cet ensemble. Celles-ci s'appellent les bornes supérieure et inférieure delà fonclion/(.r) au point d'accumulation a ('). L„ — 4 estl'écart ou la discontinuité de la fonction en a. La condition nécessaire et suffisante pour que la fonction /(x) soit continue au point d'accumulation a consiste en ce que l'écart de la fonction, en ce point^ soit nul, Si Ton veut attribuer un sens à ces quantités La, L pour un point isolé a de (X), on les regardera comme égales a.f{a), on regardera l'ensemble 8,, (o) comme se réduisant au seul point/(a).

Imaginons par exemple une fonction de x définie comme il suit dans l'intervalle (o, i). Pour x = o, f{x) est nul; il en est de même pour toutes les valeurs rationnelles de x qui, mises sous forme d'une fraction irréductible, ont un dénominateur impair ; pour les autres valeurs rationnelles de x, f(x) est égal à i ; enfin pour les valeurs irrationnelles de x,f(x) est égal à 2. Tout pointa de l'intervalle est un point d'accumulation, la fonction f{x) y a une des trois valeurs o, 1,2; mais il est clair qu'on peut trouver dans le voisinage du point a, aussi près de lui qu'on voudra, des points pour lesquels la fonction est égale soit à o, soit à i, soit à 2. L'ensemble 6 (o) se compose évidemment de ces trois nombres ; on a / = o, L = 2. Il est le même pour tous les points ; on pourrait aussi bien s'arranger pour qu'il changeât avec a ; prendre par exemple la fonction f[x) égale tantôt à x, à x^, à x^. Le lecteur n'aura aucune peine à multiplier les exemples de cette sorte.