I -^ — -^0 I < «. I r — Jo

Dans ces conditions, la fonction y(.A.') est dite continue pour le système .r„, Jq si, quelque petit que soit Je nombre positif i, on peut lui faire correspondre un nombre positif y; tel que l'on ait

l/(-''.j)— /l-^o.Jo)l<^ sous les conditions

I •'' — -^0 1 <'^.. Ij — 7o I <^ ;

le nondire y; doit d'ailleurs être inférieur ou égal au nombre 7.. Il est clair que si la fonction /(x, y) est continue dans l'ensemble (W) défini [»lus baut, elle sera continue pour cbaque système X, y tel que l'on ait

au sens qu'on vient de dire. On établira plus tard la réciproque. Revenons aux fonctions d'une variable.

166. — Soilf{j-) une fonction continue dans l'intervalle (a, h) et supj)osons /fa) dllfércnt de /(//). Soit G un nombre compris entre /(a j olJ\b) ; je dis qu'il appartient à l'ensemble (V) des valeurs distinctes dcf^x) dans (a, b) ; en d'autres termes, il y a une valeur ./■(, de .r, qui a[)partient à l'intervalle (a, b), qui est forcément dilTércnte des bornes a, b, et pour laquelle on sifix^) = G.

Je siipposerai, pour fixer le langage, a <i h cl f(a) -< G << f[b). Pour les valeurs de .»• un peu j)lus grandes ((ue n, f[x), qui est liés voisin de /('')> 'f'^te pl"^ petit (pic G, Il y a donc des iioud)rcs a ajipartenant à l'intervalle [fi, b), tels que l'on ait /( j?) << G pour

'j.\f\ nruoiucTioN a i.v tiiloiui: nns konctions

loulcs les valeurs de ./; (|iii apfjarlicniienl à riiileivalle (a, a) : soit (8) l'ensemble des nombres a, ensemble qui est évidemment borne : sa borne supérieure, que je désignerai par x^ est certainement moindre que h. car, pour x =z b, on a f{x) >. C, et il en est de même, on vertu de la continuité, pour les valeurs de x un peu jilus petites que h. On a d'ailleurs certainement f{x^,) = C : car si l'on avait /(•'■û)-<G, la fonction /"(./•), pour les valeurs de x un peu plus grandes que ./•„ serait encore inférieure à C, el si l'on avait f\x) > G, elle serait })lus grande que C pour les valeurs de x un peu plus petites que Xq : dans les deux cas x^^ ne serait pas la borne supérieure de l'ensemble (8).

La proposition que l'on vient de démontier s'énonce souvent, d'une faeon imagée, en disant qu'une fonction continue/' j;i ne peut passer d'une valeur /(o) à une autre valeur /'(/>) sans passer par toutes les valeurs intermédiaires. Elle montre en particulier que si /(a) elfib) sont de signes contraires, l'équation /(j?) = o a une racine comprise entre a et b.

Soient .M, m les bornes supérieure et inférieure de la fonction /'(./;) dans l'intervalle (a, b) ; il y a deux nombres a^, ^,, qui appartiennent à cet intervalle et pour lesquels on a /"(a,) = M, f[b^) = m. La proposition précédente s'applique à l'inlorvalle ("p^,) contenu dans rintervallc [a, b) : il suit de là que l'ensemble (Y) des valeurs que prend la fonction /(./•) dans l'intervalle [a, b) n'est autre cliose que l'intervalle {m. M), puisque, d'une part il n'y a pas de points de (Y) en dehors de cet intervalle, et que, de l'autre, si a désigne un nombre qui appartienne à l'intervalle (m. M), il y a un nombres appartenant à l'intervalle 'a,, /^,). donc à l'intervalle {a,b), pour lequel on a f{x) = a.

L'ensemble Ci) est bien clos, comme on le savait d'ailleurs par le n" 162,

Si importante que soit la propriété précédente des fonctions continues, elle ne caractérise cependant pas ces fonctions ('),

(') ^oyc/ le Mf'moirc de M. U.vrholx sur les fonctions disconlinuos, Annales scienlifujues de l'Ecole normale supérieure, 2' sér., l. IV, p. 1091. Il suffira de signaler l'exemple sui\ant, (pic (loiiiie M. D.vniiOLx : une fonclion f'^x) égale

à o pour X = o, et à sin - pour les autres \aleurs de x, est discontinue pour a- = o ; cependant il est aisé d(; Noir cpicilc ne peut passer d'une valeur à une autre sans passer par les valeurs iiilcrmédiaifcs.

cirviMTiir IV. — ors fonctions en okm^hal a'ij

L,i clrlinilioii des mois « lonclinii cniissaiilo, non décroissanlo... /> (lui a ôlt' donni'eaii n" 163 std)>isle ainsi (|nescs conséfiuences tians le cas où la fonction csl driinic dans un inlcivalle [>i, h) : l'^n supposant que la lunclion /(•'") soit non-décroissante ou non-croissante, dans cet intervalle, ses bornes sont f{n) cifiO) ; si l'on a fÇi:) r-^ /(./;"), en désijfnant par ./•', x" deux nombres de l'intervalle (a, b), la fonction /(./;) est constante dans tout l'intervalle {x, x"), etc.

167. — En restant toujours dans le cas où la fonction /(.'•) est déterminée dans l'intervalle (a, b), on dira qn'clle est croissante au point ./'y de cet intervalle si l'on [)cut déterminer nn nombre positif î, tel que le rapport

soit positif pour toutes les valeurs de ./•, autres que .i\^, (|ui appartiennent à l'intervalle (a, />) et rpii satisf(^nt à l'inégalité

Une fonction croissante dans l'intervalle (a. b) est croissante en chaque point de cet intervalle ; il est aisé d'établir la réciproque.

Supposons en effet que la fonction /(,/) soit croissante en tout point de l'intervalle (a, b), au sens qu'on vient de dire; il suffit, pour prouver qu'elle est croissante dans l'intervailc (a, b) au sens qui a été précisé au n° 163, de montrer que si l'on désigne par x' une valeur quelconque appartenant à l'intervalle [a, b). autre que la borne supérieure b, on a /(■'") >> /(•^'') pour toutes les valeurs de ./' qui ap[)artiennent à l'intervalle (./, b). Or cette inégalité, puisque la fonction /(■'") est croissante au ])oint ./•'. a certainement lieu pour les valeurs de x qui sont suffisamment voisines de x' . Soit [8j l'ensendîle des valeurs de x, appartenant à l'intervalle {x\ b) pour lesquelles on a /(a?) ^f(x') et x^ la borne supérieure de (8), je dis, d'une part que l'on a/(xj >>/(ic'), d'autre part que j-^ est égal à b. Si en effet on avait/(./"„) < f(x'), la fonction f{x), pour des valeurs de ./■ un peu plus petites que x^ prendrait des valeurs \)\\\^ petites (pie /(■'"„). puisqu'elle est croissante au point ./•,,, ces valeurs seraient plus petites que f'x'); les valcms de x un peu plus petites que Xg n'appartiendraient pas à l'ensemble (B), non

•i'|G iNTnonrcTioN a la Tiiicouin iies fonctions

plus que .r , (\\\'\ no ponrrail clro la l)orno siipcriourc de cet cnpnsonil>l(\ On a donc f{.i\) >/(•'•')• D'autre pail, si .r^, n'élait pas C"^i\\ à /). pour les valeurs de ,r un peu plus grandes que .r^, la lonelion /(•''). croissanle en x^. serait plus grande que /(.'.;,), les valeurs de x un peu plus grandes que x^ appartiendraient à l'ensemble (8), dont x^ ne serait pas la borne supérieure.

On définira de même ce qu'est une fonction décroissante en un point d'un intervalle, et l'on montrera qu'une fonction décroissante en tout point d'un intervalle est décroissante dans tout l'intervalle.

168. — Quand une fonction /(.'.) est à la lois continue et croissante (ou décroissante) dans un intervalle {a, b), les choses se passent d'une façon particulièrement simple. Rappelons d'abord que si l'on sup()ose a << ^ et la fonction /(.r) croissante, A = /(a) sera la borne inférieure de cette fonction, B = f[b) sa borne supérieure, B — A son écart dans linlervalle (a, b). Si maintenant ona A >< G <C B, la fonction /(.'■) prend, conmie on l'a vu au n° 165, et comme on pourrait le démontrer dans le cas qui nous occupe d'une manière im peu plus simple, la valeur G pour ime valeur j^„ comprise entre aelb; elle n'atteint d'ail'eurs la valeur G que pour la seule valeur aî^, car pour les valeurs de.r inférieures l\XQ,f(x) est plus petit que G ; au contraire/!.') est plus grand que G pour les valeurs de ./• plus grandes que x^. Dans ce cas la correspondance entre les éléments de l'ensemble (Y) des valeurs de la fonction /(./;). et de l'ensemble (\) des valeurs de (,/;) [ou de l'intervalle (a, b)], est parfaite.

Il ne sera pas inutile de remarquer en général que, toutes les fois qu'une fonction y =/(•«) est déterminée dans un ensemble (X) et qiie les valeurs de y qui correspondent à deux valeurs distinctes de X prises dans cet ensemble sont toujours distinctes, en sorte que la correspondance entre les valeurs de ./• [les éléments de (\)], et les valeurs de y fies éléments de Ç\ )] soit parfaite, la valeur de x à laquelle correspond une valeur de j de l'ensemble (\) est déterminée sans ambiguïté, en sorte que .r peut être regardé comme une fonction de y déterminée dans (Y) ; cette fonction F (y) est dite la fonction inverse de la fonction /(a;), et l'on a pour toutes les valeurs de ./■ qui appartiennent à (X), et pour toutes les valeurs de y qui appartiennent à (\),

cc = F[f(x)], y=f[F(y)}.

cirvi'iTur IV. — des ionctions en OKNKuvr, 2^7

169. — Dans lo cas qui nous orcn[)0, où la r()n(^lion y ^^=f>.i-) est continue cl croissante dans l'intervalle {a, h], la l'onction inverse F (v) est délinie dans rinlervallo (A, H); il est aisé de voir qu'elle y est croissante et continue : elle y est croissante, car si l'on a A <C y' <Cy" <! H. ol si l'on suppose j/ = F (y'), x" = F (y") ou, ce qui revient au même, y' =z f[x), y" =^ /(■''"}, il estclair que l'on ne peut avoir ni l'cgalitr .v'^:./^", qui impliquerait /'(.'•')^=/(.'' )• ni l'inégalité x'^x", qui iuq)liquerait/(x')>>/(.ry'). Enfin la fonction F (y) est continue pour toute valeur y' comprise entre A et l>. Car, si Ton suppose encore x' = F (y), j' =/(•'") et si l'on veut déterminer un intervalle (y' — /;, y' -h y;) tel que pour les valeurs de y apparlcnaiU à cet inlcrvalle, la dilTérencc F (y) — F (y) soit moindre en valeur absolue rpie le nombre positif £, dont on su[)pose seulement qu'il satisfait aux conditions a <a;' — - <ix'-\-î<h, il suffira de poser

y It =/(..■' — :), y' ^ h =f{x' 4- z),

et de prendre r, plus petit que les deux nombres [xisilifs //, /.•. En effet, pour les valeurs de x comprises entre ./;' et .'•' -+- i y est compris entre y' et y' -\- Ir, inversement, quand y est compris entre y' et y' -+- k, F (yj est compris entre .'■' et .'■' -h 1 ; on a donc o << F (y) — F (y') < î. De même quand y est compris entre y' — Ii et y', on a o <C F (y') — ¥ (y) «< z. Dans tous les cas, si y est compris entre y' — ■/} et y' -h Yj on aura certainement I F (y) — F (y') | <^ 1. Les modifications qu'il faudrait apporter à cette démonstration si y était égal à A ou à B sont insignifiantes.

Si la fonction y =y'(.r) est continue dans l'intervalle (n. h), et si ni, M sont ses bornes inférieure et supérieure, la correspondance entre l'intervalle (a, b) des valeurs de ./• et l'intervalle (m, ^1) des valeurs de y ne [)eut être parfaite que si la fonclirju f x) est croissante, ou décroissante, dans tout rinlervallo.

Supposons en cITct que la correspondance soit parfaite et soient a «< |3 <; y trois nombres appartenant à rintervalie (a, l>) : d'une part les nombres/(a),/(j'B),/(y) sont distincts, en vertu de l'bypothèse ; d'autre party'(|3) est certainement conqiris entrey(a) et /{'/)■ Car, s'il en était autrement, c'est que /'(a) serait compris entre f{fj) et /(y) ou quc/(y) serait compris entre /(a) et/(.>) ; dans le premier cas, f{y.) — fif"^)' et /' a) — /('/) seraient de

•j'iS iMuonii:rii"N a i.\ riii'.oiui: ors konciions

si^'-nos riHilrairos ; l'cqualioii /'(a)- — /*(.'•) =r^ o aurait donc imc riu-ino r? (•(im[)iisc cnlre fj d y : ov la suppcsilion /"(ai ^-^f(fj), est coniraire à riiy[)olli('so iailc sur la lonclion [f.c) qui, pour des valeurs disliiicles delà variable doit prendre des valeurs distinctes; le raisonnement et la conclusion sont les mêmes dans le second cas.

Par conséquent, f|uand la fonction y = /v'")' continue dans Tintorvalle i a, /y) n'est pas croissante, ou décroissante, dans tout l'intervalle, la correspondance entre les valeurs de ./• et celles de y ne suffit pas pour définir ./; comme une fonction inverse de y : cette définition exige qu'on spécilie, lorsqu'il y a plusieurs valeurs de .r qui font acquérir à la f(jnction y(./-) la val(Mir v, colle que l'on choisit.

Enfin, il convient d'avertir le lecteur que l'opinion qui résulte naturellement de l'étude des fonctions élémentaires et d'a|)rès laquelle, lorstpi'une fonction est continue dans un intervalle {a, h), on pourrait j)arlager cet intervalle en intervalles partiels tels que dans chacun d'eux la fonction fût ou croissante, ou décroissante, ou constante, n'est pas vraie. On donnera plus tard un exemple de fi^nction continue qui n'est ni croissante, ni décroissante en aucun point.

170. — Les propositions qui suivent sont à peu près é\ identes ; elles peuNcnl être regardées comme des extensions de celles du n" 54. (pii subsistent avec l'extension qui a été donnée au sens du mot limite (n" 151).

Si les deux fonctions y{./;s 7 (./-■) sont continues en un j)oint, dans un ensemble clos, ou dans un intervalle, il en est de même des fonctions /(./•) -r ;j (^':), f{j') — !] {.^'') ' f {•'-) X !J (^'') '■< J' ^n est de même encore de la fonction -'-r^ pourvu que la fonction </ {x), pour

les valeurs considérées de x, reste supérieure en valeur absolue à un nombre positif fixe. C'est ce qui arrivera sûrement s'il s'agit d'une fonction, continue dans un ensemble clos (X) qui ne s'annule pour aucune valeur de ./; appartenant à cet ensemble : car si la fonction 'J (x) est continue dans (X), il en est de même de la fonction 1 fJ^Xj |, qui doit atteindre par consé-^uent sa borne inférieure, et celle-ci ne peut être nulle, puisque la lonclion g {x) ne g'annulc pour aucune valeur de x appartenant à (X).

CtlAI'IIIΠIV. DF.S l'ONC'IIONS F.N CKNKIl.VI, -^^It)

l!ii ;i|i|»li(|ii;iiil plii-^iciiis (nis los |ii( >|>()vilii ms i(^l;iti\ rs ;"i iiiio soiniiir' et ;i iiii |)i()(liiil, on Vdil (|ii(', si o (//, /", //') dt'-sijJinc ii!i |)(i1vmomic CM a, r, ir cl si u, o, ir Sdul des l'oiiclioiis coiitiiuies de ./■ dans un ensemble clos (\), ç^ [u, v, iv) sera mie Innclion continue de x dans le mrme ensemble. Il en serait de même du quotient de deux polynômes en u, v, w, pourvu (pie le dénominateur ne s'annulât pour aucune valeur de ./• appartenant à ( \). l"]n particulier, un polynôme en .r est une lunclion continue dans tout inler\alie ; une fraction rationnelle en ./; est une lonclion continue de ./; dans tout intervalle qui ne contient aucune valeur de .c pour laquelle s'annule le dénominateur.

Soit '.; (a) une fonction continue d(^ la xariable ti dans l'intervalle [a. a) et •!j{f) une fonction continue de la Nariahie c dans l'intervalle [b, />'), il est clair que les expressions

seront des fonctions des deux variables u, v déterminées dans l'ensemble (UV) des couples de valeurs a. v qui vérifient les conditions

a < u <a', b <v < ly

(n" 164) ; il est bien aisé de voir qu'elle sont continues dans cet ensemble. Considérons en clfct la seconde, par exemple.

Si l'on pose o Ui) = C/(«) h- h, à [r') = <b{h) -H A', on aura 9 («') ']> ((.') — '^ (u) 'i>[v) =L h 'b{r) + h^ (u) -- ///.-.

Si l'on désigne par P un nombre positif plus grand que les bornes supérieures des fonctions I 'b (u) \, | 'b(^v) j dans les intervalles {a, a), (1), b), par a un nombre supérieur à | /< |, | h |, si l'on suppose enfin que ces dernières quantités soient moindres que i, le second membre de l'inégalité précédente sera moindre, en valeur absolue que (2P h- i) a ; il suffira donc de su[)poser

* < aT^Tl ' I "' — " I < ^- I "' — " I < » pour être sur que l'on a

I cî((jV^ (i/)^ o(n) ■!/ (e) |< £.

En appliquant, plubicurs fois co ibéorèmo, on voit de suite qu'un

aSo INTRODUCTION A L.V TlIKOUIF, DFS FONCTIONS

polynomo on ç (»)• '}'(''' psI une fonclion conlinno dans IVnsonihlt" (l \). En jiarlicnlicr. un polynôme en /;, v sera une fonction continue dans l'ensemble (UV) et cela quels que soient les nombres a, n' , h, h' ; l'extension de ces proprirlés à des fonctions de trois, quatre, ... variables est immédiate.

Si les fonctions y (.r), fj {x) sont croissantes dans l'intervalle [d, I>). il en esl de même de la fonction /(•'•) + (/{.r) ; il en est de même encore de la fonction fi.r) X g (-'")' si les fonctions y(.r) et (/ (./•) restent positives dans cet intervalle ; le produity(.r) x qÇ"^) serait décroissant si les deux facteurs étaient croissants et négatifs, on ne peut rien affirmer si l'un des facteurs est positif et l'autre négatif. Si la fonction f[.r) est croissante et la fonction y (.r) décroissante, la dilTérence /*(./•) — y (.r) est croissante ; il en est de

même de la fonction-'— 7-7 , quand les deux fonctions /(.r), 7 (p)

restent positives ; elle est, au contraire, décroissante, quand les deux fonctions y(j-), 7 (x) restent négatives. Le lecteur complétera sans peine les énoncés de ce genre.

171. — Soit y 1'./) une fonction de x définie dans l'intervalle (a, b) et dont les valeurs restent comprises entre A et B ; si ç; (y) est une fonction de y, définie dans l'intervalle (A, B), il est clair qu'à chaque valeur de .r ap[)arlrnant à l'intervalle [a, b) corres- ]iondra une valeur de '^ (y) obtenue en regardant y comme ayant la valeur/(./-) ; à ce point de vue '> fj) ou ç; [/'(a-)] est ce qu'on appelle une fonction de fonction de x. Si la fonction f{x) est continue dans l'intervalle (a, b) et si la fonction (de y) o [y] est continue dans l'intervalle (A, B), il est clair que la fonction 'f [/(.ï;)] scia une fonction continue dans l'intervalle (a, b) ; si la fonction /"(■/;) est croissante dans l'intervalle [a, b) et si la fonction (de y) (fiy) est croissante dans l'inlervallc (A, B), il est clair que la fonction C'[/'(a:)J est croissante dans l'intervalle [a, b). Plus généralement si l'on sait partager l'inlcrvalle (a, b) en intervalles partiels tels que, dans chacun d'eux, la fonction /(./:) soit croissante ou décroissante, et l'ensemble (A, B) en intervalles partiels tels que la fonction C/ {}') soit croissante ou décroissante, on parviendra à partager l'intervalle (a, b) en intervalles partiels tels que dans chacun d'eux on connaisse le sens de la variation, c'est-à-dire le caractère de

CriVPlTUF. IV. DF.S FONCTIONS FN OKNFRAI. '^iJl

ri'nissanro Oïl (le (ItVroissanro de la rniiclniii di" Inm limi o| /(•'';!. Ce sont li'> r(iiiai<|iic> pii'rt'dciilrs (jiii. cniimio on lésait, perinctlciit de iccon naître le sens de la variation des lonctions

ba

I «.r + fc

ne

où a, h. r. n, !>' dt'si^ment des constantes,//! \in nombre entier; on j)onrra anssi, soit avec ces fonctions mêmes, soit avec d'antres, ponr lesquelles on connaît le sens de la variation, former des fonctions de fonction cl mnltiplior les exemples. Mais on sent cond)ien l'application de ces remarques est limitée ; elles ne s'api)liquent

déjà plus à la fonction très simple x 4- , dont il est d'ailleurs aise

de reconnaître le caractère eu recourant à la définition des fonctions croissantes ou décroissantes. Des propositions générales qui seront développées plus tard, fourniront des méthodes simples pour reconnaître le sens de la variation d'un très grand nombre de fonctions.

172. — Soit (\ ) un enseml)le de nombres ; soient a et h deux éléments de cet ensemble, n étant le plus petit : celte façon déparier (( r croît dca h b en restant dans l'ensemble (X) » ne présente aucune difficulté quand il n'y a entre n et h qu'un nombre fini de valeurs distinctes a;,, x,, .... ,r„ de l'ensemble (\) qui sont comprises entre a et 6 ; on imaginera la suite des nombres croissants a, Xi, x.^, .... x„, b et on imaginera que la variable x prenne successivement ces valeurs : Lorsqu'il y a une infinité de nombres ap[)arlonant à (X) entre n et b, lorsque l'enseudjle (X) contient tout l'ensemble (a, b). l'esprit se refuse à concevoir une lettre x prenant successivement toutes les valeurs intermédiaires à a, b.

Même dans ce dernier cas, où l'on dit habiluellement que .x croît d'une ftiron continue de n à b, il n'y a aucun inconvénient à conserver cette façon de parlor, rpii est commode, et cpii, au fond, n'implique rien de plus qu'un orilrc attriliné- aux nombres '/, b et