INTUdOUCTlON A LA TIIKORIK PF? TONCTIONS

aux iioiiil)r(^s inlennrdiaiios. lo nombre ./• rlaiiL roj^arih* rommc précétlanl le noml)rc .r" si l'on a .'•' < ./;". Les façons de [)ailcr (( X croît do a à -t- x , décroîl de -t- oo à n. cioîl de — x à -h x » peuvent être l'objet d'observations analogues.

Si niainlenanl v = /(■>") est une fonction continue de x, l'oxprossion « quand .r croît dune façon continue de n à h, y croît d une façon conlinuo de A à li » sV\[)li([uc d'elle-nièinc : elle veut dire que l'on a

et que dans l'intervalle (a, b) la fonction continue / (.r) est croissante. Les expressions analogues s'expliqueront de même : par exemple l'expression « quand ./' croît d'une façon continue de ahb, y décroît d'une façon continue de A à — co », veut dire que l'on a fl <C ^. A = /(a)) fjne la fonction /'(.r) est continue et décroissante dans tout intervalle (a, b') où l'on suppose a <C b' <C b, et que l'on a lim/(;r) = — x . Souvent même, quand il n'y a pas

d'anibiguité à craindre, on supprime les mots « d'une façon continue »).

Toutes ces façons de parler sont les résidus d'images où le mouvement joue un rôle sur lequel il me parait inutile d'insister : l'emploi de ces images n'offre pas d'inconvénient quand la signification des notions abstraites auxquelles elles correspondent a été bien précisée.

On peut en dire autant des figures géométriques, qui servent à représenter la variation des fonctions. Dans ce qui précède, un nombre a été essentiellement idenliiié avec un point sur un axe : cette identification, ainsi qu'on l'a expliqué, peut être regardée comme une simple façon de parler : en disant un point, on entend un nombre, et l'esprit est en même temps soulagé par la vue ou le souvenir d'une image. On n'a d'ailleurs jamais parlé du />/an, de points en dehors de l'axe qui servait à représenter les nombres. Je m'efforcerai de montrer ultérieurement comment, en conservant le langage de la géométrie plane, en s'aidant mêmede ses figures, on peut cependant rester dans le domaine du pur nombre. Il n'y a pas d'inconvénient, pour le moment, à attribuer une réalité concrète à la représentation dont on va dire deux mots, et à admettre comme

CIIAI'llUR IV.

r>ES l'ONCTlDNS I:n r.KNKIlAI,

tics domiros quelques notions cl pro[)Ositi()ns simples de la j^éoniéliic élénicnlairc.

Concevons clans un pian deux axes reclangulaires ()\. ()^, se coupant au point O (origine des abcsisscs et des ordonnées). Sur le premier axe (axe des./-, ou des abcsisscs), on regarde coninic positive la dircclion qui part du pjint 0 et va vers la droite ; sur le second axe ^a\e des y ou des ordonnées), la direction qui part du point () et va vers le baut. Sur les deux axes on évalue les longueurs au moyeu d'une même unité de lon''-U('ur, Les noudires x seront représentés, suivant la convention ordinaire par des points sur l'axe OX, points dont les nombres sont les abcisscs. Pour l'axe OV, on emploie le mot ordonner avec le même sens que le mol abscisse pour l'axe 0\ ; les nombres y sont rc[)résentés par des points sur cet axe 0\, points dont ces nombres sont les ordonnées.

A un point quelconque ^l du plan correspondent deux points P, Q, ses projections orthogonales sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées, et par conséquent deux nombres .r, y, l'abscisse du point P, et l'ordonnée du point Q, qui sont dits aussi l'abscisse et l'ordonnée, ou les coordonnées du point M ; réciproquement à chaque système de deux nombres (.r, y) correspond un point M dont l'abscisse et l'ordonnée sont précisément .r, y.

Ceci posé,, si l'on considère une fonction y =y(.r), elle fait correspondre à un point :c de l'axe des abscisses vm point y de l'axe des ordonnées, et cette correspondance sera très bien figurée par le point M dont les coordonnées sont .r, y ; On dit que l'ensemble (ou le lieu) des points M re[)résenlc la fonction /(•'"), ou l'équation y =f{.i:). A la vérité, cette représenlalicn est, à peu près inapplicable quand il s'agil de correspondances aussi générales que celles que l'on a considérées au dél)ut de ce clia[)ilie ; si même il s'agit d'une fonction continue dans un intervalle (a, h), cette représentation ne pourra être emplovée pour une fonction qui, par exemple, ne

204 l.\TI\UDUCTIU\ A I.A TIIKOIUI-, DI-S FONCTIONS

scrail jamais croissanlo, ni décroissante. Elle commence a devenir moins ciMifnse quand l'intervalle (a, b) peut être décompose en \m nombre liiii trinlervalles dans chacun descpiels la (onction est croissante ou décroissante : si. par exemple, la fonclion y ^ f(.r) est croissante dans l'intervalle (a, h), on est disjiosé à ne pas refuser le nom de conrhc au lieu des points M rpii (Igurcnt la correspondance entre ./■ et y quand .v cr(,)it de a à b ; en réalité les images que nous nous représentons sous le nom de courbes impliquent, d'ime façon plus ou moins obscure, des propriétés qui peuvent très bien n'être pas réalisées ici. par exemple l'existence d'une tangente, au moins en général, et d'une certaine continuité dans la \arialion de celte tangente ; bien qu'il convienne de réserver le nom de courbe aux lieux géométriques qui jouissent de ces propriétés, que l'on précisera plus tard, emplovons-le provisoirement, et figurons un trait de courbe montant du point a dont les coordonnées sont a, A au point j^ dont les coordonnées sont b, B ; il figurera une fonction /(c), continue dans l'intervalle [n. b) et croissant de la valeur A à la valeur B quand x croit de a en b ; on voit très bien sur la figure comment à un point c de l'intervalle [a, b) correspond un point G de l'intervalle (A, B) et réciproquement ; en d'autres termes ; comment la correspondance entre les intervalles (a, b) et (A, B ) est parfaite ; comment, lorsque le point c se meut, sur l'axe des abscisses de a vers b, en allant toujours de gauche à droite, le point correspondant C de l'axe des ordonnées monte de A et B et réciproquement ; comment, en quelque sorte, le trait de courbe entre a, ^ définit à la fois y comme fonction de x [^'=f(j:)] dans l'intervalle (a, b) et x comme fonction inverse de y [j:; = F(y)] dans l'inbervalle (A, li); comment cette dernière fonclion est croissante. La conlinuilé de la fonclion F (y) s'aperçoit par un raisonnement identique au fond à celui du n'^ 169, mais qui, sur la figure, devient intuitif : si l'on marque deux points c', c" sur l'axe des x, à droite et à gauche de c et à une même distance î de ce point, puis (pie l'on figure les points correspondants G', G" de l'axe de y, il est clair que si l'on prend le point M entre G', G" le point correspondant m de l'axe des x sera entre c' et c" et par suite à une distance de c moindre que z ; or le i)oint M sera sûrement entre les deux points G' et G' si on lui impose la condition d'èlrc à une distance du point G moindre que la distance r, de ce point à celui des

<:iiAi'nr,i: iv

DES l-ONCTKJNS K\ GKNtllAr,

ao.)

(Icii\ |Miiiils ('/ et C" qui est le [iliis rapitioclir do ce poliU (J, eu Sdilo (jiic, si l'on di'sij.'-no par .''o. y,, l'ahscissc du point c cl l'ordonnée du point C, ou les cooidoiuiées du point y, par .r, y l'ahcissc du point m et l'ordonnée du point AI, ou les coordonnées du pouil y., on est sur cpic la dilVércnce F (v) — Ffyjou ./• — .a-^, est nioindrccn valeur absolue que :, si la distance | y — y„ | est moindre que/;. On reconnait assez que, dans ce raisoniienienl, la li,i,Mircn'a été (pi'une aide; l'apparence seule est iréoniélriquc ; toutes les [Kulies de la démonstration du n" 169 ont été inlroduites dans un aulre laniiage. dont la commodité est é\idcntc.

J'aurai besoin [)lus tard des résultats sui\aiils, (ju'il sullna d'énoncer :

Les fonctif»ns y = o'", J "^ '^'•'' + ^' O'' ^'? ^ ^^"'' ^^'^ constantes, sont représentées, dans le systilîmc qu'on vient d'expliquer, par deux droites |)arallèlcs dont la première ])asse par l'orii^Mue : a est le coeflicient augulaire de l'une ou l'autre droite; c'est l'ordonnée du point de la première droite dont l'abscisse est i ; 6 est l'ordonnée à l'origine de la seconde droite. Réciproquement, à toute droite non parallèle à l'axe des y correspond une fonction ax h- b que représente celte droite au sens précédent ; en d'autres termes, toute droite non parallèle à l'axe des y a une équation de la i'orme

2jG IMUOntCTlO.N A I-.V TIILOUIE DES FONCTIONS

y = a.r -+- h. Le coefficlcnl an<j:iilairc de la droite qui passe parles

poinls dtnil les coordonnées sont ./■ . y cl ./;' , y' est —, ^ et l'équa-

lion de celle droile csl y — v = *^ ^ te — x') : en tlaiilres

y" — y' y'x' — yx' ternies '—, '—, .r H- — 5 -j- est la seule fonction de la forme

ax + h qui prenne pour x = x et x = x" les valeurs y', y".

Après celte digression, revenons à l'étude des fonctions, non plus, en ce inomenl, pour développer des notions générales, mais bien pour étudier des fonctions particulières de forme donnée.