CHAPITRE V. CONVERGENCE UNIFORME SgS

lo nombre o et les inverses des nombres naturels ; cet ensemble (\) admet pour point unique d'accunmiation le point o : [)osons,

pour j; = — et pour toutes les valeurs du nombre naturel a,

t'a ("') = "a i^)' puis lim. v^ (m) = v^ = ii^ (o).

La fonction ii^ {.c) est définie dans l'ensemble (X), elle y est continue au point d'accumulation o ; on a d'ailleurs | ii^ {x) | < a^ pour cbaquc nond^rc naturel a et cbaquc valeur de x appartenant à (X) ; le tbéorèinc I s'applique donc, la somme de la série [a), qui, pour

X = -, est égale à S {m), est une fonction continue de x dans (X),

sa valeur pour a; = o est la somme S de la série l'j, + yg H- ... et il est bien prouvé qu'on a

lini. S (m) = S.

184. — Je vais donner immédiatement une application importante de la proposition I du numéro précédent aux séries de la forme

qui ont, en analyse, une importance considérable : «„, a,, ..., a„, ... sont des coefficients numériques et x une variable : on dit qu'une telle série est ordonnée suivant les puissances entières et positives de x; on la désigne encore sous le nom de se'rie entière en x, ou de série de Taylor. Lorsqu'elle est convergente pour toutes les valeurs de x, on dit que sa somme est une fonction (transcendante) entière de x (*).

Soit, en général, aï, la valeur absolue du coefficient a„ de la série (i) : supposons que l'on connaisse un nombre positif A tel

(') Conformf'ment à l'usage adopté par plusieurs auteurs, je supprimerai à 1 occasion l'épithète '( transcendante ». Il y a toutefois lieu de prévenir une confusion possible : en disant série entière en x, je ne supposerai pas que la série soit convergente pour toutes les valeurs de x ; en disant fonction entière de X, je suppose essentiellement cpie la série (entière en x) (jui représente cette fonction soit convergente quel que soit x.

9A)f\ INTROinCTION A L.V TllKOUlE DES FONCTIONS

que la série à loniios positifs

soit convergente : on est sûr alors que la série (1) est al)solunicnt et iiniforménicnt convergente dans l'intervalle ( — A. A), où sa somme est ime fonction continue de x. Cette fonction peut se mettre sous la forme

n„ix"

analogue à celle d'un polynôme : 0 désigne une fonction de x, donc on peut affirmer qu'elle reste, dans l'intervalle ( — A, A) inférieure ou égale, en valeur absolue, à la somme de la série convergente

On a insisté au n° 173 sur diverses propriétés des fonctions de la forme (3) où 0 reste, comme ici, inférieur en valeur absolue à im nombre fixe. En particulier, on sait que deux expressions de cette forme^ qui se terminent à une même puissance de x, ne peuvent sans être identiques terme à terme, être égales pour une infinité de valeurs de x voisines de o. On en conclut que deux séries entières en x, qui seraient toutes deux absolument convergentes pour X = A, ne peuvent sans être identiques, terme à terme, représenter la même fonction de x dans l'intervalle ( — A, A). C'est là une proposition que l'on complétera plus tard.