Soit

une série convergente dont les termes sont des nombres positifs.

I. — Soit, comme plus haut {11) une série dont les termes »,, n,, ..., u^, ... sont des fonctions de x déterminées dans l'ensemble (\). Supposons (ju'on ait [ "^^ 1 ^ a^ pour loules les valeurs de X appartenant à cet ensemble et pour toutes les valeurs du nombre naturel a ; on peut affirmer que la série (a) est absolument et uniformément convergente dans l'ensemble (X) : la convergence absolue de la série (a) est évidente, l'uniformité de la convergence résulte évidemment de ce que le reste de la série [11) est, en valeur absolue, au plus égal au reste de la série (a), qui peut être supposé aussi petit qu'on le veut. D'ailleurs, cette proposition a été déjà énoncée, sous une autre forme, au n" 179, à propos des limites. Pourvu que les fonctions u^, u.,, ..., soient bornées dans (X), la proposition subsiste évidemment si l'inégalité [11^) ^ a^ n'a pas lieu pour les premiers ternies de la série, en supposant, bien entendu, qu'elle soit vérifiée par tous les termes, à partir d'un certain rang.

Si l'ensemble (X) est clos et si les fonctions a,, u^, ..., «^, ... sont continues dans cet ensemble, il en est de môme de la somme de la série (a).

II. — On a parfois à ap[)liqucr le théorème précédent dans un cas particulier, sur lequel il convient de s'arrêter un peu, afin de voir qu'il est bien compris dans le cas général.

2g2 INTRODUCTION A. LA TIIEOHIE DES FONCTIONS

Conservons à la sc'ric (n) la même siijfnificalion ; r'csl une série convergente dont les termes sont des nombres positifs.

Supposons, en désignant par jn un nombre naturel, qu'on veuille chercher la limite pour m infini, d'une somme

dont chaque terme c^ (/n) a, pour m infini, une limite v^. L'existence et la valeur de la limite apparaissent immédiatement quand /• est un nombre fixe. Il n'en est plus de même quand le nombre naturel r dépend de ni et croît indéfiniment avec m : pour indiquer cette dépendance je poserai r = o{m) : on a, d'après la supposition précédente, lim. © {m) = -+- oo . Jl est tout naturel de

m = co

rechercher si la somme S (m) n'aurait pas pour limite, quand m croît indéfiniment, la somme 8 de la série

lorsque cette série est convergente. Mon but est de démontrer qu'il en est ainsi lorsqu'on a, quel que soit le nombre naturel a, i' {m) I S a^, ce qui implique évidemment | v^ | ^ «j^-

Il convient d'abord d'observer que, jusqu'à présent, v^ [m) n'a, pour une valeur donnée du nombre naturel a, de sens que si m est assez grand pour que o (m) soit au moins égal à a. ce qui finit toujours par avoir lieu en vertu de l'hypothèse lim. 9 (m) = -f- 00 .

Afin que la fonction v^ [m) soit définie pour chaque valeur du nombre naturel m, je conviendrai de poser v^ (m) = o pour toute valeur de m telle que '^ (m) soit inférieur à a : cette supposition laisse évidemment subsister les conditions

lim. v^ (m) = v^, | v^ (m) | ^ a^ ;

m = co

la somme S (m) apparaît alors comme la somme d'une série convergente dont tous les termes à partir de celui qui occupe le rang /' =- 'S {m), sont nuls. Nous nous rapprochons évidemment du théorème démontré dans la première partie du présent numéro. Considérons maintenant l'ensemble clos (X) dont les éléments sont