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La théorie des lïactions continues aritlini('tir|iics nous lourniiM tout à riieure un moyen syslénialique d'ohlcnif dos IVaclions à termes entiers qui approchent ainsi d'un noml)rc donné V ; mais il convient auparavant de faire quelques observations sur la proposition [)récédenle et d'en tirer quelques conséquences.

Soient A, 1> deux nttmhrcs ([uelconques, positifs ou négatifs,

dont loutcfois, le rapport -r- est supposé irralioiincl. 11 est clair que

l'expression A,/- -h Bj, où :r, y désignent (comme on le supposera dans tout ce numéro) deux nombres entiers positifs, nuls ou négatifs, ne peut être nulle sans que l'on ait à la fois x r= o,

y r^ o, puisque, autrement, on aurait ^ ^= et que te nombre

. est suppose irrationnel.

Il résulte du théorème précédent que l'un peut trouver des valeurs entières de ./•, y (|ui lendent l'expression A./; -1- Bj aussi petite en valeur absolue que l'on voudra ; en d'autres termes, si l'on se donne un nombre positif 2, aussi petit qu'on veut, il existe des nombres entiers ,/;, y tels que l'on ait

cette inégalité équivaut en elVet à la suivante

Il suffira d'appliquer le théorème précédent en prenant / plus grand que —^ .

Il résulte de là qu'on peut trouver des nombres entiers x, y qui font acquérir à l'expression Ax -+- Bv des valeurs aussi voisines de tel nombre G que l'on voudra ; soit en ell'et î un nombre positif aussi petit que l'on voudra et soient .r^, y„ des valeurs telles que la valeur absolue r, de A.'\, -l- ]\y^ soit moindre que z ; si l'on considère la progression arithmétique indédnie dans les deux sens

..., — ar,, — T,, o, r,, :rr, ....

38 INTHOnUCTION A L.V TMKOUIE DES FONCTIONS

le nombre C sera égal à l'iin des termes de celle suite on tombera entre deux termes consécutifs ; si l'on a, n étant entier,

nr, s C -< (/i H- 1 ) r, ,

la diiïérence \n:i\ H- 1)/^'^ — C sera moindre en valeur absolue que Tj et ]>ar suite que i ; comme n.i\^, /îv^ sont entiers, la proposition est démontrée.

31. — Ces résultats conduisent à l'interprétation géométrique suivante : sur l'axe qui sert à représenter les nombi-^s, il y a des points dont l'abscisse est de la forme A.r -t- Bv et qui sont aussi rapprocbés que l'on veut de tel point que l'on veut ; il y a de tels points entre deux points' arbitrairement cboisis P, Q puisqu'il y en a qui sont aussi voisins que l'on voudra du milieu de PQ.

Cette proposition peut d'ailleurs se démontrer indépendamment du théorème du n" 30.

Remarquons d'abord, en effet, que si deux ou plusieurs nombres sont de la forme \x -f- By, il en est de même de leur somme, de leur dilTérence, du produit de l'un cjuelconque d'entre eux ])ar un nombre entier : en particulier, si le point 7.^ a ime abscisse de cette forme, il en sera de même de tous les points a,, a.,, a^, ..., a',, a'^, a',..., obtenus en portant bout à bout, à partir de l'origine 0, à droite ou à gauche, des segments égaux à Oa, ; si les deux points a, ,j ont des abscisses de la forme précédente, il en sera de même de tous les points obtenus en portant bout à bout, à partir de 0, à droite ou à gauche, des segments égaux à la distance de ces deux points. Si donc entre deux points de l'espèce considérée il y a un troisième point de la même espèce, on est sûr par cela même qu'il y a un point de la même espèce dont la distance à l'origine est moindre que la distance mutuelle des deux premiers points.

Ceci posé, soit z un nombre positif donné. Si la distance entre deux points distincts de l'espèce considérée était toujours supérieure ou égale à i, entre le point 0 et un point quelconque P de Taxe, situé, par exemple, à droite de 0, il ne pourrait y avoir qu'un nombre fini de points dont l'abscisse fût de la forme Ax H- Bv; n au plus entre U et P, si l'on a | OP \ ^ m; soit alors R celui de ces points qui est le plus rapproché du point 0 et soit

CIIAI'ITIU: I.

>O.MI!UES IKU.U'IO>>t:LS

£^ := Ax^ -H iiv„ son al)scissc ; tous les points dont l'ahsclssc est de la l'orme /;j 3„, /N étant un entier quclcon(|ne, a[)i)artiendront à l'espèce considérée ; entre deux d'entre eu\, il ne [)oiiiia se [)laccr aucun point tle cette espèce, sans quoi II ne serait pas le point de cette espèce le plus rapproche du [)oint O; quels que soient les entiers ./• et r, on pourra donc trouver un entier m tel que l'on ait

d'où l'on tirera

\x + ]5j = m (A.r, -h lîvj.

ce qui e>t inq^osslblo. puisque .v est irrationnel.

Donc quelque petit que soit z, il y a un point dont l'abscisse Zq, de la l'orme A.r,, -4- By^^, est moindre que 1 ; dès lors, comme un point quelconque de la droite tombe soit sur l'un des points dont l'abscisse est de la forme iuIq soit, entre deux consécutifs de ces points, il est clair qu'il y a des points de l'espèce considérée, aussi voisins qu'on voudra de tel point de la droite qu'on voudra.

La [)ropositlon suivante, que je me contente d'énoncer, ne dinère pas au fond de celle qui précède. Si l'on considère un cercle et im point 0 sur ce cercle; si l'on porte à partir

du point 0 des arcs éj^aux OA, AA,, A, A.,, — en tournant aulailt qu'on voudra autour du cercle, et si l'arc OA est incommensurable avec la circonférence du cercle, on peut trouver un point A„ qui s'approche autant qu'on le veut d'un point donné I sur le cercle. Quand l'arc OA est commensurable avec la circonférence, on sait que le-; [)oints A, Ai, A^,, ... sont en noad)re limité.

32. — \o\ci maintenant d'autres propositions du même genre que le lli('iirème du n" 30.

40 INTRODUCTIOX A LA TIIKOUIF. DES FONCTIONS

Si A,, A,, ..., A„ sont des nombres quelconques, non tous nuls, et /un nombre naturel donné, il existe un nombre entier ./: et des nombres entiers r,. y.,, ..., y„ inférieurs ou égaux ù / en valeur absolue, mais non tous nuls, tels que l'expression

Aj)'i -H \^', -H ... + A„y„ — X

soit moindre que ., en valeur absolue. ]\emplaçons en effetjMans

l'expression précédente v,, v.,. ..., v„ par un système de valeurs prises parmi les nombres i, 2,0, ..., / et .r par la partie entière de AjV, -+- A^Vo -i- ... H- A„y;i ; on oblicndra ainsi un nombre posilil" moindre que un ; en soitc ([ue la partie entière du nond^re /" i|A|y, -h A.,y., -i- ... -f- A„y„ — .c), étant positive et moindre que /". est l'un des nombres o, i, 2, .... /" — i ; si elle est nulle, le ibéorème est vérifié. Or. on peut prendre pour Vi, }%. ..., Vn des systèmes de valeurs en nombre égal à /" ; si pour aucun de ces systèmes la partie entière de /" (A, y, -+- \,y., -^' ... -H A»y„ — x) n'est nulle, c'est que, ])our deux systèmes distincts y,, y^, ..., y„ et y',, y.',, ..., y^^ les parties entières sont égales, en sorte que la valeur absolue de

est moindre que i. La proposition est démontrée. Si par exemple on prend Aj = t., A^ = ■;:-, / = 10, on trouve

Soient A,, A^, ..., A„, des nombres quelconques, non nuls et

(*) La dilTôrcncc entre — et la racine positive de l'û.jualion

est moindre ciuc : signalons dans le même ordre d'idées l'équation

dont la racine positive diffère de — d'une quantité moindre que — -. (E. Bouef., Sur l'approxiinalioii des nombres réels par les nombres quadratiques. Bulletin de la Société matliématicjue de l'rance, t, XXXI, p. i57^\