CHAPITRE t. NOMBRES IRRATIONNELS /| I
/ un nombre nalurcl donné ; on peut liouvcr des IVaclions à termes enlieis
dont le dénominateur soit un nombre naturel au plus 6}ia\ à /" et qui diffèrent respectivement des nombres Ai. A,,, ..., An de quantités moindres que j-^ .
En effet dans les expressions
donnons à y les valeurs i, 2, 3, ..., /" cL prenons pour x,, x.,, ..., x-i les parties entières de A, y, A,y, ..., A„y ; les n nombres
/(Ajy — .f,), l(\j — x,), ..., l{\„Y—x„}
sont tous positifs et moindres que /; cbacunc de leurs parties entières est l'un des nombres o, i, 2, / — i ; si j)our une valeur
de y, toutes les n parties entières sont nulles, le tbéorème est vérifié. Sinon, puisqu'il y a /" valeurs de j, autar.t que l'on peu! former de systèmes distincts en prenant 11 nombres dont cliacun soit l'un des nombres o, i, 2, ..., / — i, il faut qu'il y ait deux valeurs y', y" telles que les parties entières des nombres
soient les mêmes f(uc les parlies entières des nombres
en sorte que les nombres
i[K{y' - y")-{xl - <)], i[K(y -y") - « - ^:)]'-
sont tous moindres que i en valeur absolue. Uien n'cm^iéclie de su[)poser y' >. y' ; la différence positive y' — y' est alors moindre que/, elle est entière ainsi que les nombres x[ — x'[, x.l — .ri, ... ; le tbéorème est démontré.
Par exemple, en prenant A, =: ::, A^ ^^=^ t.-, l = ô, on trouve que les erreurs commises en prenant pour r. et 7:^ les deux frac-
fx'i nruoDUCTiON a la Tinîoiun: des ro>XTio>s
G() 2 1 7 lions ~. — -- (.lont le ilcnominalcur commun csl mleruMU- à .).-,
sont moindres ff ne •
H. — DIGRESSION SLll LES FRVCTIO.NS CO^TI^UES AUITIIMKTIOUES
33. — La llicoric des fractions continnos arilhméliqnos fournil; lo moyen syslémalique d*ol)tcnir les fractions les plus simples qui ajiprocheni le plus possible d'un nombre donné A positif ou néga" lif, mais non entier.
Etant donne un nombre quelconque A, autre que zéro, on obtient mie première valeur approchée de ce nombre, en prenant sa partie entière a^ ; cette valeur est approchée par défaut; elle est négative si A est négatif, nulle si A est compris entre zéro et un, positive si A est plus grand que i, l'erreur correspondante V — a,)
est positive et moindre que i ; mettons-la sous la forme t-» ci''
sorte que 1 on ait A = a^, H- t--
■^\ A, est un nombre plus grand que i; soit n^ sa jiarlie entière,
qui sera au moins égale à i ; rt, est une valeur approchée par défaut de A,, - est une valeur approchée par excès de .- ; par suite
a^ H est une valeur approchée par excès de A. Soit de même
A| — «1 = r ■» -^i est un nombre plus grand que i ; sa partie entière a,,, au moins égale à i, est une valeur approchée par défaut de A^ ; «i H est donc une valeur approchée par excès
de A, (}t si, dans rt^ h- y- = A, on remplace A, par une valeur
approchée par excès, a^ -\- ^, on obtiendra une valeur approchée-
ciiM'iTnr r. — iuaction^ contimf.s \'i
jiar tli'-faul ilc A, c'est à savciir
Do nirmc en posant A, — a, = ir- el en dL-simiaiit par a, la partie entière île A^, le nombre
sera une valenr approchée par défaut de A,, et si, dans a^, 4- i"
on remplace A, par celte valeur ai)procliée par défaut de Ai, on ohliondra une valeur approchée par excès de A, c'est à savoir
On voit d'ailleurs ([ue A pent èlrc mis sous les formes
En continuant de la même façon, on obtient tmc suite de nombres entiers a,,, a,, a.. ..., a,,, ... cpii, à partir de a^, sont au moins é£raux à 1, qui sont respectivement les parties entières des nombres
' A — «/ - Al — fil A„i — fl,,— 1
lesquels, à partir de A,, sont plus grands que i, puis une suite de fractions, dites fractions continues limitées,
qui peuvent èlre regardées comme des valeurs approchées de A, allernalivement par défaut et par excès ; le raisonnemeni précédent montre aisément que chacune d'elles est comprise entre celle qui
i54 iMKonrcTiON \ lv tiiéorif, des rONCxioNS
la précède et celle qui la suit ; c'est un résultai (ju'on retrouvera tout à l'heure. Les nombres a^, a,, a.,, ..., o„, ... sont dits (jaotienls incomplets ; les nombres A, A,, A^, ..., A„, ... dont ils sont les parties entières sont les quotients complets correspondants ; toutefois, en comptant les uns et les autres, je laisserai systématiquement de côté soit a„, soit A ; a„ sera dit le /?' quotient incomplet, ou le quotient incomplet de rang (ou d'indice) n ; de même pour A„. Dans une des fractions limitées précédemment écrites, si l'on remplace le dernier cjuotient incomplet, a,, par exenqile, par le quotient complet correspondant A„. on reproduit le nombre A d'oi'i l'on est [)arti.
Il est clair, d'après leur formation môme, que les fractions continues limitées dont le dernier quotient incomplet est de rang (d indice) impair sont des valeurs approchées par excès ; elles diminuent quand ce rang augmente; au contraire les fractions continues pour lesquelles le dernier quotient incomplet est de rang pair sont des valeurs ap})rochées par défaut, elles augmentent quand ce rang augmente. Ces résultats seront établis à nouveau, dans un instant.
La connaissance des premiers chilTres de la représentation décimale de A permet de calculer les premiers des nombres entiers a^, a., a.,, ...
Par exemple si l'on suppose A = r. = .'^iIioq^Gô')..., on trouve, en ne conservant à cliaquc division que des décimales dont on soit sûr ('), pour les quatre premiers quotients complets et •incomplets
Ag = i5,9()G..., "2= i^'
On ne pourrait être arrêté dans la suite des opérations que l'on vient de décrire que si l'on trouNail lui quotient complet A„ qui fùl
un nombre entier an ; alors l'exiiression -7 , dont le déno-
^ A„ — an
minateur est nul, n'aurait plus de sens ; le nombre A est dans ce
(') On sera certainement dans ce cas tant que, dans la division, le reste •partiel auquel on est arrivé dépasse la jjarlic ccrilc au quoliont, regardée comme un nombre entier.
ciiAi'inti: I. — rnvcTiONS continues /|5\
cas, égal à la iVaclion conlimic limltcc.
cl il ol (''\ iilçiiiiiiciil lalioiiiicl.
Invcrscmcnl, si le nombre^ A = - est un nombre rationnel, les
opérations par lescpicllcs on délcrmine les quotients complets successifs sont les opérations même auxquelles donne lieu la rccliercbo ibi plus grand commun diviseur entre les entiers/), (j ; ces opérations se terminent et l'on finit par trouver im reste (égal à i s'ip, fj sont premiers entre eux) qui divise le reste précédent; le quotient, certainement plus grand que i, est le dernier quotient (t„ de la fraction continue ; on peut l'appeler aussi bien coni[)lol qu'incomplet. Puisqu'il est plus grand que i, on peut le rcni[)lacer
par (In — I -i- , et l'on voit qu'on peut dévch)j,[H'r un nonihrc ni-
lionncl en frnclion continue de deux façons dillcrenles. a\ec un nombre [)air ou Impair de quotients incomplets; les deux formes ne diffèrent d'ailleurs qu'à l'extrémité de la fraction continue. Par
exemple, pour la fraction — rj, la suite des quotients incomplets est
3, 7, 16, ou 3, 7, ij, 1,
Si le nombre A est irrationnel, on pourra continuer indéfiniment les opérations et l'on trouvera ainsi une suite indéfinie de nombres entiers a-^, a^, ..., a,,, ,.., suite (|ui est déterminée dès que le nombre A est déterminé.
Il importe, avant daller plus loin, d'étudier d'un peu plus près la suite des fractions continues limitées qui correspondent à ces quotients incom[)lets.
34. — Nous avons d'abord à former certaines fonctions entières ou rationnelles des quantités
Oo- «1' •••' «-M
et à en établir des propriétés dans lesquelles il n'est nullement nécessaire de supposer que cesxjuantités sont des nombres entiers déduits de A comme II a été expliqué : dans ce numéro, les lettres
^6 INTllOULCTION A L.V TIIKOHIE DES F0>i(.TIONS
a , a , .... On, >•• (lésigncfonl, si l'on vcul. dos variables quelconques, Ibrmanl une suite iiidrlinic ; mi a alors
Kl,//, -4- l) ((.,
On peut continuer ainsi et mettre les fractions qui figurent dans les premiers membres, que je continuerai à appeler des « fractions continues limitées » sous la forme du quotient de deux polynômes entiers en a^, d^, d,, ...
Posons
les fractions continues limitées qui figuraient dans les premiers
membres sont respectivement égales à t^' . Pi' ' (f ' n- ^^ ^^'^
pose en général
ces formules, applicables pour les valeurs entières de /? supérieures à I, déterminent de proche en proche tous les polynômes P/i, Q,i, du moment que l'on prend pour P^, P,, Q^, Qi les expressions précédemment écrites; les fractions rationnelles
portent le nom de réduites.
ciiArnni: i. — fkactions comim ks /17
De nicinc (|iie [)i»nf los quollcMils (•()in[)lels ou iii(M)iii[)lots, je ne |) ■complciai pas la réiluilc " ; la n" ivdiiilc sera
i (1 A „ I II,, -r- 1 ,, — 2
Qn ~ Q,.-l O/i -H Qu-i'
Je vais uioiilrer qu'elh* est ri;ale à la IVaclion conliiiue liinlu'c <lans laquelle le dcrniei- (|U(ili('ul incomplet est r;„ ; cette proposition a été véiifiée [)0ur les petites valeurs de // ; elle s'établit par induction en montrant que, si elle est vraie pour les // — i premières réduites, elle est vraie [)our la //" ; or la fraction continue qui se termine par a„ se déduit de la précédente en n reni-
pla(;ant ((,, i par a„i H- -- ; cette précédente est, [)ar hypothèse,
égale à
1 11 -1 flg - I ~t~ A >i - 3 . Q„2 On-l -+- Q«-3 '
la fraction continue suivante s'obtiendra donc en remplaçant clans «elle expression o„i, qui n'entre dans aucun des polynômes
P„., P„;!, Q,j-., Q,,-:!, pai" t';.-i -T ; on obtient ainsi, après wne transformation iaimédiate,
(P„,a„-, -4- \\,-,)a„ -^l\-, ^ ]'^^ fl, -K P„, ^ P^.
•ainsi qu'il résulte des égalités (i) et de celles qu'on en déduit en changeant n en n — i .
En éliminant a» entre les égalités (1), on trouve
VJ)„-, - P„i Q„ -= (1\, Q,2 - P.-. O.-i);
l'expression ( — ij" (P„Q„i — P„ 1 Q„) ne change pas de valeur quand on cliange n en a — i, elle est donc égale à la valeur — i ■(|u"clle prend pour /? = i et l'on a
o; . p„p„-.(-j):iz!
On lire aussi des cgalltcs (i), (2) les suivantes : [ p () , 1^ ,0 — ( - iV' n
Jùilin, si dans la dernière fraction continue limitée P„P„. r>„-^P„-,
on modifie la seule variable a„ pour la remplacer par une autre variable A„, on aura en vertu des égalités précédentes
Q„i A:, -i- Q„, Q„, (Q„-i A„-i- n„TjQ„i
0„iA„^Q„, Q„ ^ iQ»-iA„-^Q,,)0„
35. — Supposons maintenant que les lettres a^, a^, a.,... a,,,.., désignent des nombres. La suite de ces nombres est sup[)osée Indéfinie et déterminée, c'est-à-dire que, à chaque rang, se trouve im nombre déterminé. Supposons en outre que les nombres a^ , a,..... On,.-- soient positifs; le nombre «„ peut être positif, nul ou négatif.
Les polynômes P», Qn deviennent des nombres que je continuerai de désigner par les mêmes lettres ; comme a^ ne figure pas dans les polynômes Q^, Qi,..., on voit que les valeurs numériques de ces derniers polynômes sont positives ; Il en est de même pour les polynômes P„ si Aq est nul ou positif; tout cela résulte des formules (i) du numéro précédent, les mêmes formules montrent, dans le cas où a^ est négatif, que si Pj se trouve, comme Pq, être négatif, les nombres P^, P3,..., P«,... sont tous négatifs.
La relation
P„ ^P„-l fl„-f- P„-2
où Q„, Qn— 1, Qn-2 sont positifs montre que la fraction Ty estcom-
Vn
GIIAPITIIF. I. FIIVCTIONS CONTINLF.S 'jQ
prise cnlro les doux IV,irli(ins . ." 'el-/' ". (ini l;i |)i'('cè(lent i ') ;
celles-ci d'après les secondes rormules (3) du a ' 34 sont toujours
iné^-^ales; ainsi ^^■ est compris entre ^-y =-- a,, et ^' = <7„ + - '< rf
