CHAPITRE V. CONVERGENCE UNIFORME

dite iiiiirornK'nienl convergente, clans ce même ensemble, si à cliaf|nc nonihrc positif £ on peut faire correspondre un nombre naturel p .tel que l'on ait, en désignant par /'„ (.r, y) la somme des n premiers termes de la série proposée,

sous la condition n'>p, et sous les conditions (i). C'est ce qui arrivera, en particulier si, la série à termes positifs

étant convergente, on a, sous les conditions (i), et quel que soit n,

Si la série proposée est uniformément convergente, dans l'ensemble (\Y) et si, en outre, les fonctions !p„ (x, y) sont continues dans le même ensemble, la somme f(x, y) sera aussi continue dans (XY), et l'on pourra, à cbaque nombre positifs faire correspondre un nombre natiuol p et un nombre positif y^ tel que l'on ait

\fix,y)■-fn{x'.y')\<^,

sous les conditions n^ p, \ .■;' — x\<ir,, | y' — y | <C "/; et sous les conditions ( i).

La démonstration est la même que pour les séries dont les termes ne dépendent que d'une variable.

186. — Il est à peine utile de dire que la considération des produits infinis donne lieu à des propositions toutes pareilles à celles qu'on vient de développer pour les séries.

Si «,, ;/,. .... Un, ... désignent des fonctions de x déterminées dans l'ensemble clos (X), et si. pour cbacune des valeurs de .r qui appartiennent à cet ensemble, le produit

est absolument convergent, il délinll une fonction de./;, déterminée dans (X), qui pourra être regardée comme la limite, pour n infini, du |)ioduit 7„ (./■) des n premiers facteurs du produit infini. Ce

INTRODUCTION A LA TlIl-oniF, OKS FONCTIONS

(liMiiicM- sera ilit uiilformcmcnt convorgcnl dans l'ensemble (\) si, à chaque nombre positifs, on peut faire correspondre un nombre naturel y) tel que l'on ait,

pour toutes les valeurs du nombre naturel n >-p et pour toutes les \aleurs de .r qui aj)partiennent à (X).

Si le produit est uniformément convergent dans (X) et si, dans le même ensemble, les fonctions «,, ii.^, ..., u,,, ... sont continues, il en est de même de la fonction g (.v).

Si, en particulier, on connaît une suite infinie de nombres positifs a,, a.2, .... a„, ..., tels que la série > a,, soit convergente, et que l'on ait pour toutes les valeurs de x qui appartiennent à (X) I Un I <C a», on est assuré que le produit infini est absolument et uniformément convergent.

En effet le produit infini à termes positifs 1 1 (i + «») t^sl alors

convergent, et si l'on désigne par A„ le produit de ses n premiers facteurs, il est aisé de voir (n" 119) que, si l'on suppose m > n, on a I gm {.v) — (j„ (x) \ ^ A,,, — A« ; on est ramené à la proposition du n' 179.

Par exemple le produit j î ( i — '~>) est absolument et unifor-

mémcnt convergent dans tout intervalle : il définit une fonction de X continue dans tout intervalle.

La proposition II du n" 183 a aussi sa correspondante ici. En reprenant ks hypothèses et les notations de ce n" 183, on peut affirmer que le produit

ment convergent

a une limite et que cette limite est la valeur du produit absolu-

a = co

CIIAI'ITIIC V. lONCTIONS KI.KMKNTAIIIES 2(J'J

Les explications que l'on a données au n" 183 suriiscnt à luon- Ircr que celle proposition est un cas pailiculier de celle qui précède.