II. — FONCTIONS KLÉ.MEMAIUES

187. — Après avoir établi ces propositions générales, je vais ni'arrèler un peu sur quelques fonctions particulières, qui serviionl d'exemples, et qui tiennent d'ailleurs, en analyse, un rôle essentiel.

Considérons d'abord la série

I 1.2 l. li ... Il

on a vu au n" 95 que, si A était un nombre positif quelconque, la série

I 1.2 l. 2 ... Il

était convergente. La série proposée est donc absolument et uniformément convergente dans l'intervalle ( — A, A), c'est-à-diie dans tout intervalle : sa somme y(j?) est une fonction continue dans tout inlorvalle. La règle de multiplication des séries permet (n' 115) de reconnaître que cette fonction jouit de la propriété

en sorte que la fonction /'(.c) est de la forme a'^ (n" 177). en désignant par a un nombre positif, que l'on déterminera en remarquant qu'il duit être égal à /'(i), c'est-à-dire à la sonnne de la série

Cette somme est un nombre que l'on désigne habituellement par c et qui joue un rôle considérable en analyse : on a calculé au n" 95 une expression approchée du reste des séries de l'espèce con-

298 INTRODUCTION A L\ TllKORIE IIES FONCTIONS

sidérée, cl l'on coiichil dv siiilc tic celte forme que ron peut écrire

0 étant un nombre compris entre o et 1 ; celte formule permet de calculer c avec telle approximation que l'on veut : on a

La même formule montre que c est irrationnel ; si en elTct il était é'vil à la fraction irréductible—, on aurait

en multipliant les deux membres par i. 2 ... /i, le premier devien-

drait entier ; le second se réduirait a - quantité qui ne peut jamais

être un nombre entier, même nul. On doit à Cli. Ilermite d'avoir établi que e est un nombre transcendant, c'est à-dlre c[ue e n'est racine d'aucune équation algébrique entière à coclïicients rationnels.

11 résulte de ce cjui précède que l'on a

ces égalités, valables quel que soit x, sont particulièrement avantageuses quand on veut calculer e"" pour de petites valeurs de x. On voit par exemple qu'on peut prendre 0,9 pour valeur approchée de

— P , avec une erreur par défaut moindre que — .

Je reviendrai bientôt sur cette fonction e"".