I --! — an — 5 a -L ... -\ — i

est convergente, car le rapport du {n -\- i)" terme de cette série an n" tend vers o quand n augmente indéfiniment. Or, pourvu que l'on ait I /?J I < A, ] jî | < a. les termes de la série proposée sont, en valeur absolue, inférieurs ou égaux aux termes, tous positifs, de la série qu'on vient d'écrire. D'où les conclusions suivantes :

La série (i) est uniformément convergente dans l'ensemble (MX) des couples de valeurs de m et de .r qui vérifient les conditions I /?j I < A, I -^ I ^ ^- ; elle est continue dans le même ensemble. Elle est, par conséquent, continue quand on fixe l'une des variables et qu'on la regarde comme une fonction de l'autre. Enfin si l'on veut avoir la valeur de la somme pour un système particulier de valeurs x' , m , satisfaisant aux conditions imposées, il suffii'a de prendre assez de termes et de donner aux variables x, m des valeurs suffisamment approclices de x' et de m' pour obtenir une valeur aussi voisine qu'on voudra de la somme cherchée.

Je vais montrer, d'après Abel (^) que la somme de la série (i) est égale ù (i -^x)'", pourvu que la valeur absolue de x soit inférieure à i.

Regardons, en effet, x comme une constante, inférieure à i en valeur absolue ; la somme de la série (i j est alors une fonction de m définie pour toute valeur de m, et continue dans tout intervalle, puisque dans les raisonnements précédents, A est un nombre positif quelconque. Multiplions, en appliquant la règle du n" 114, la série ( 1 ) par la série

(*) Œuvres, 2* édilioii, l. I. j). 2i().

3f>0 INTRODUCTION A LV THEORIE DES FONCTIONS

l'applicalion ilc cette règle est légitime, puisque les deux sciios (i), (y) sont absolument convergentes ; on aura

A|, A, A;, étant des fonctions de m et de n qu'il est facile de

former. Si la proposition énoncée est vraie, il est clair qu'on doit avoir

kj, doit donc être égal au coefficient de x'' dans © [ni H- n), c'est-àdire qu'on doit avoir

C'est ce qu'il est bien aisé de vérifier pour les petites valeurs de n, et de démontrer ensuite par induction. Mais cette démonstration n'est pas nécessaire. En effet d'une part, l'égalité (3) est certaine quand m et n sont des nombres naturels, puisque dans ce cas, o f m), o (n), o (m + a) ne sont autre chose que les développements (limités) de (i -i- x}'", (i -f- £c)", (i + x)'" + ", et le coefficient de x^' dans le développement de (i + »;)'" + " doit être égal au coefficient de.r'' dans le produit du développement de (i + a;)'" par le développement de (i + x)".

Dans le cas général, les deux membres de l'égalité (3) sont comme il est aisé de le voir, des polynômes en m, n, de degré/) ; cespolvnomes prennent des valeurs numériques égales pour toutes les valeurs entières et positives de m,n : il est bien aisé d'en conclure qu'ils sont identiques.

L'égalité (3) est donc établie.

Donnons à x une valeur fixe, plus petite que i en valeur absolue; o{m) est une fonction de m continue dans tout intervalle et la propriété de cette fonction qu'exprime l'égalité (3) montre (n" 177), que l'on a (^(m) = A'", A étant une certaine constante positive qu'on déterminera immédiatement en faisant /?? = i ; on trouve ainsi A = <p l'i) = i -h se, l'égalité

(l -h jr-)'" =

CnAI'lXnE V. KONCIIONS ÉLÉMENTAIIIES 3o I

osl ilonc dt' mon liée, quoi que sdîI ///. jiouivi^ que la valeur absolue tic .1- soil inférionrc à i, C'est la fonnulc connue sous le nom de fornmle ilu hinume.

Notons, comme cas particuliers, les égalités

, m , in(m-\-i) ., m fm-(- i)...(nn- n — i) , I H — -+■ X — i ^ x--i- ... -4- — ■ — '- — ^ '- a-P -h ....

ou, lorsque m est entier.

— ■ r- — =\.v>..6...(m — i)H-2.3./|...Hi.r-h3./i. J...fA« + i a;--f-

[i — xy" ^ ' '

-^ (P ^ ^) (P -^ ^) (P + 3) ... {p -h m — i) xi' -+- ... ;

,1 9 , 1-3 , , 1.3.5 , 1.3. 5. ..(an — i) ,„

La première a été utilisée aux n°' 131, 133 189. — On parvient à la série

dont on a prouvé plus haut qu'elle était égale à e^, en cherchant la

limite, pour n infini, de ( i -h -) .Je n'invoquerai pas, dans ce

qui suit, le fait que la somme '^ ./: de cette série est égale à e'' : ce fait résultera à nouveau de la démonstration même.

Si l'on suppose [ /i [ >■ x, on peut appliquer la formule du binôme, et écrire

/ .r\" nx n(n — i)x/^ n(n — i)...{n — p-i-i)xP

\ II) m 1. 2 n^ 1. 3 ... p nf

Si n est un nombre nnlurel. tous les lormos de degré supérieur à n ont des coefficients nuls, mais la formule est valable dans tous

3o2 INTRODUCTION A L.\ THÉORIE DES FONCTIONS

les cas ; en itMii[)I;traiil // par , cllodevienl

en posant

^i + ^+fi-.)— +... + (i-c)(.-2:)...[i-0.-r)c]:^-^-^^ + .

Si l'on désigne par a, h deux nombres poeitifs fixes, la série à termes positifs

est convergente pourvu que l'on ait a6 << i, puisque le rapport du

(/) -i- 2)" terme au (/> +1)" est ^ — — et que la hmite de ce

rapport pourjD infini, est a6. En supposant donc ah<^\, on voit que la série (i) est absolument et uniformément convergente dans l'ensemble (XZ) dont les éléments sont les couples de valeurs de X et de 2 qui satisfont aux conditions | a; | < a, [ :r | ^ 6. Dans ce même ensemble la fonction des deux variables f[x, z) est continue ; sa limite pour z = o s'obtient simplement en faisant 2 = 0 dans les coefficients delà série, elle esto(x'). De plus, quelque petit que soit le nombre positifs, on peut lui faire correspondre un nombre positif r, tel que l'on ait. pourvu que x, x' soient moindres en valeur absolue que a,

(p{x)- [l -t- zx') <

sous les conditions \x — x-' | -< /^ , | 2 | <; y; .

Il revient au même de dire qu'on peut faire correspondre à chaque nombre positif £ deux nombres positifs /; et P tels que l'on ait

sous les conditions | a; | ■< a, | x'' [ •< a I ic — aï' !<;"/:. | /i I > P ; on peut prendre P égal ou supérieur à •