On parvient à la série

^ /y» 2 rptl

dont on a prouvé plus haut qu'elle était égale à e^, en cherchant la

limite, pour n infini, de ( i -+--) . Je n'invoquerai pas, dans ce

qui suit, le fait que la somme ç: ; j/i de cette série est égale à e'" : ce fait résultera à nouveau de la démonstration même.

Si l'on suppose ] n | >> x, on peut appliquer la formule du binôme, et écrire

nx , »(?; — !) .r^ , , n(n—i)...n—p—i)xP ^

Si n est un nombre naturel, tous les termes de degré supérieur à n ont des coefficients nuls, mais la formule est valable dans tous

les cas ; en remplaçant n par -, elle devient

en posant

H hfi

XP

Si l'on désigne par a, 6 deux nombres poiitifs fixes, la série à termes positifs

est convergente pourvu que l'on ait a6 «< i, puisque le rapport du

(p -+- 2)" terme au (p -+- i)" est " et que la limite de ce

rapport pour/) infini, est a6. En supposant donc a6<<i, on voit que la série (i) est absolument et uniformément convergente dans l'ensemble (XZ) dont les éléments sont les couples de valeurs de X et de 2: qui satisfont aux conditions \x\<a, \z\^b.. Dans ce même ensemble la fonction des deux variables f{x, z) est continue ; sa limite pour z ^ o s'obtient simplement en faisant z = o dans les coefficients delà série, elle est(p[x). De plus, quelque petit que soit le nombre positif s, on peut lui faire correspondre un nombre positif y; tel que l'on ait. pourvu que x, x' soient moindres en valeur absolue que a,

cp(a-) — (i -H zx')"" < c,

sous les conditions \x — £c' | < yj, | z | < v^.

Il revient au même de dire qu'on peut faire correspondre à chaque nombre positif s deux nombres positifs yj et P tels que l'on ait

cp(a;) -^

sous les conditions j £c | < a, j £c' [ <C a I £c — x' \ <^ Y], | n | >> P ; on peut prendre P égal ou supérieur à - •