Considérons encore la série

/ ^ , m mim — 1) , , , m{m — i)...{m — 71+1)

CIIAPITKE V. — FONCTIONS KLÉMENTAIIVES 299

qui, lorsque; m est un nombre naturel, se réduit à un polynôme en X, le développement de (i -+- x)'". Si l'on regarde .« et m comme des variables, ses termes sont des polynômes par rapport à ces deux variables.

Soient A un nombre positif quelconque et a un nombre positif plus petit que i , la série à termes positifs

A A(A-f-i) 0 A(Ah- i) ... (A -f-n — i) „

est convergente, car le rapport du (n -h i)" terme de cette série au ïf tend vers o quand n augmente indéfmiment. Or, pourvu que l'on ait I m I < A, I a; I < a, les termes de la série proposée sont, en valeur absolue, inférieurs ou égaux aux termes, tous positifs, de la série qu'on vient d'écrire. D'où les conclusions suivantes :

La série (i) est uniformément convergente dans l'ensemble (MX) des couples de valeurs de m et de x qui vérifient les conditions I m I < A, I .X I < a ; elle est continue dans le même ensemble. Elle est, par conséquent, continue quand on fixe l'une des variables et qu'on la regarde comme une fonction de l'autre. Enfin si l'on veut avoir la valeur de la somme pour un système particulier de valeurs a?', m', satisfaisant aux conditions imposées, il suffira de prendre assez de termes et de donner aux variables x, m des valeurs suffisamment approchées de x' et de m' pour obtenir une valeur aussi voisine qu'on voudra de la somme cherchée.

Je vais montrer, d'après Abel (*) que la somme de la série (i) est égale à (i -+- x)"\ pourvu que la valeur absolue de x soit inférieure à i.

Regardons, en effet, x comme une constante, inférieure à i en valeur absolue ; la somme de la série (i) est alors une fonction de m définie pour toute valeur de m, et continue dans tout intervalle, puisque dans les raisonnements précédents, A est un nombre positif quelconque. Multiplions, en appliquant la règle dun°114, la série (i) par la série

(^) Œuvres, 2° édition, t. I, p. 219.

l'application de cette règle est légitime, puisque les deux séries (i),

(2) sont absolument convergentes ; on aura

(D (m) X (p{n) = I + Aj.T + A^x^- + ... + kj,xP h- ...,

Ai, Aj, ..., A;j étant des fonctions de m et de n qu'il est facile de former. Si la proposition énoncée est vraie, il est clair qu'on doit avoir

Aj, doit donc être égal au coefficient de x'' dans © (m + n), c'est-àdire qu'on doit avoir

C'est ce qu'il est bien aisé de vérifier pour les petites valeurs de p, et de démontrer ensuite par induction. Mais cette démonstration n'est pas nécessaire. En effet d'une part, l'égalité (3) est certaine quand m et n sont des nombres naturels, puisque dans ce cas, © (m), © [n], © (m + n) ne sont autre chose que les développements (limités) de (i + x)'"-, (i + x)'\ (i + x)'" + ", et le coefficient de X'' dans le développement de (i + £c)'" + " doit être égal au coefficient de aï'' dans le produit du développement de (i 4- a;)'" par le développement de (i H- x)'\

Dans le cas général, les deux membres de l'égalité (3) sont comme il est aisé de le voir, des polynômes en m, n, de degré p ; ces polynômes prennent des valeurs numéi-iques égales pour toutes les valeurs entières et positives de m,n : il est bien aisé d'en conclure qu'ils sont identiques.

L'égalité (3) est donc établie.

Donnons à x une valeur fixe, plus petite que i en valeur absolue ; © (m) est une fonction de m continue dans tout intervalle et la propriété de cette fonction qu'exprime l'égalité (3) montre (11° 177), que l'on a ©(m) = A'", A étant une certaine constante positive qu'on déterminera immédiatement en faisant m ^ i ; on trouve ainsi A^©(i)=i-[-£C, l'égalité

CTTAI'ITRE V. FONCTIONS ÉLÉ\IENTA.IftES 3oi

csl donc démon Ircc. qncl qno soit m, pourvu que la valeur absolue de :r soit inférieure à i, C'est la formule connue sous le. nom de formule du binôme.

Notons, comme cas particuliers^, les égalités

ou, lorsque m est entier.

— — =i.2.ô...(»? — i)-l-2.3./|...m.r + ô./i.o...fm + i)a--l-

y/l .r- ^ ^-^^ 2.4.6" •■■ ' 2.4.ti-..2/)

La première a été utilisée aux n"" 131, 133.