Si a, fj tendent vers o de manière que le rapport g
tende vers une limite )., l'expression (14- a) P tendra vers la limite (p (X) : il suffit, pour le voir, de supposer dans la proposition qui précède
aî' = 3, 2 = P, x = X.
Enfin dans tout ceci, on ne s'est point servi de ce que (p{x) était égal à e^', et cette proposition peut être regardée comme une conséquence de ce que l'on vient de dire.
En effet, si l'on regarde, comme onl'afait plus haut, C9 (i) comme la définition du nombre e, il est clair que l'on aura
lim. (j -t- 2)'' = (i, (i) = e.
On a d'ailleurs, en posant- = a,
si n augmente indéfiniment, ou si a. tend vers o, la quantité entre crochets, dans le second membre, tend vers e, et le second membre tend vers e^, à cause de la continuité de la fonction x"^ ; on a donc
(0 (x) = lim. ( I H — ]
(') Dans rintroduction des Eléments de la théorie des fonctions elliptiques que j'ai publiée avec M. Molk (t. I, p, loi), j'ai reproduit une démonstration très simple, relative au cas où n croit par valeurs entières et positives, qui est due à M. Darboux.
3o/i INTRODUCTTOIV A LA THEORIE DES FONCTIONS
191. — On a vu comment la propriété fondamentale de la fonction e" apparaît sur la série
Sur cette même série, la continuité apparaît aussi facilement (n" 184) ; enfin, les coefficients des diverses puissances de x étant positifs, on voit que e' est une fonction croissante pour x positif; il
en est de même pour x négatif, à cause de l'égalité e—^ = ~ ; quand
X croît de — oo à -h oo , e'" toujours positif, croît de o à + oo ; é', lorsque x croît par valeurs positives, croît plus vite que n'ira-
porte quel polynôme g {x) ; on entend par là que le rapport "^—y-
tend vers o ; il suffit, pour le voir, de remplacer e^ par la somme des /) -t- I premiers termes de la série, en supposant p supérieur au degré de g {x) ; on a ainsi une fraction rationnelle, plus grande
Q ( iï" )
en valeur absolue que -— , et qui tend vers o. Cette dernière propriété s'étend évidemment à toute fonction de x qui serait définie par une série entière en £c, convergente quel que soit x, et ayant ses coefficients positifs. On voit aussi que l'on a quelque soit le polynôme g (x)
On verrait de même que, quel que soit le nombre positifs, l'expression -j ou £c'"e— ^ tend vers o quand x augmente indéfiniment.
Il résulte de là qu'aucune relation de la forme
Ae«^ + B'^ -h ... + Le^''" + M = o,
oùa, /3, ..., X sont des constantes et A, B, ..., L, M des polynômes en X, ne peut avoir lieu pour toutes les valeurs de x. En effet, il est permis, sans diminuer la généralité, de supposer dans la relation précédente que tous les nombres a, p, ..., X sont négatifs,
CUA.P1TUE V. FONCTIONS l'iLliMLN TAIUES 3o5
puisqu'on ramènerait la relation précédcnlo à ce cas en divisant les deux membres de la relation picccdentc; [)ar colle des fonctions e^^ , e^^ , ..., 6'"^, qui correspond au plus f^nvuid des nombres a, |3, ..., /. On peut aussi supposer 7. <. fj <i ... -< À. Jmi faisant croître x indéfiniment, on voit que si l'égalité précédente était vraie, M devrait tendre vers o, cela n'est possible que si M est identiquement nul ; en multipliant ensuite l'identité précédente par e — 'kx et en raisonnant de la môme façon, on voit que L doit être identiquement nul, etc. En particulier, on voit qu'il ne peut exister aucun polynôme /'(x, y) entier en x et y qui devienne nul pour toutes les valeurs de ./; quand on y remplace y par c', c'est ce qu'on exprime en disant que e'' n'est pas une fonction algébrique de x, ou que <?' est une fonction transcendante.
192. — On appelle logarithme naturel ou logarithme népérien d'un nombre positif x le logarithme de ce nombre pris dans la base e ; le symbole log sera réservé désormais aux logarithmes naturels ; on a ainsi^ par définition,
En désignant par loga x le logarithme du nombre x dans la base a et en prenant les logarithmes naturels des deux membres de la formule
on trouve
°°" loga'
et l'on voit comment on peut passer du système de logarithmes naturels à un système de logarithmes quelconques.
Le nombre i— ;^; — , par lequel il faut multiplier les logarithmes
naturels pour avoir les logarithmes vulgaires (à base lo) est
M = 0,4342944819...; on passe des logarithmes vulgaires aux logarithmes naturels en
Tannehy I — lutioduetion à la théorie des fouctioos 20
3o6 INTRODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS
multipliant les premiers par
(valeur approchée par excès) .
On a en désignant par m un nombre positif quelconque et en supposant que la variable x reste toujours positive,
lim. a?'" loa- ce := o, lim. — 2 — = o ;
comme on le voit de suite en posant a; = e% et en faisant tendre z vers — co ou vers -H 00 . Le même changement de variable montre aisément que log x ne peut être une fonction algébrique de X.
L'identité
qui devient évidente en prenant les logarithmes naturels des deux membres, montre que l'on a, quel que soit le nombre positif a,
X lo2' a (x I02; aY (x I02; aY
De cette égalité on déduit la suivante :
ce — Il X (I02; aY xv — ^ (loe; aV = log a ^ '^ ^ -h ... H ^ ^ ' -h ....
dont le second membre est une fonction continue de x ; en faisant tendre x vers o, on voit que le second membre a pour limite log a ; telle est donc aussi la limite, pour x ^= o, de
En remplaçant x par — et a par x, on arrive à la conclusion suivante : lorsque m augmente indéfiniment par valeurs naturelles, l'expression
OÙ X est un nombre positif quelconque, a pour hmite log x. Celte
CIIAPITUE V. FONCTIONS KLKMENTAIUES SOT
propriété du logatillime népérien répond à la propriété dee' d'être la limite de
quand m augmente indéfiniment.
193. — Soit X un nombre positil' plus petit que i en valcuj absolue, on vient de voir qu'on a
log (i + x) ^= lim. r^ ;
la quantité, dont il faut prendre la limite pour 2 = 0, n'est autre (n" 188) que la somme de la série
I ^ ^2 ^ ' \ ■ij i
z\ 1 z \ xJ'
Or, si l'on désigne, par a, h deux nombres positifs dont le premier est plus petit que ], on voit de suite en comparant le //' terme au précédent, que la série à termes positifs
est convergente ; on en conclut que la fonction 'j> {x, z) est continue dans l'ensemble (XZ) dont les éléments sont les couples de valeurs de X, z qui vérifient les conditions | ic | ^ a | - ] ^ ^•
En particulier la limite de sa somme, pour z = o, s'obtiendra en remplaçant simplement z par o dans les coefficients; on aura donc
(I) loo.(i+:.)=^^^+|... + (i)i-^ + ....
Le second membre est encore convergent pour x = j ; i\ résulte d'une proposition qui sera établie plus tard que la somme de la série
III (— iV' — '
3o8 INTKODUCTION A LA THÉORIE DES FOrVCTIONS
est bien log 2 ; pour a? = — i le second membre de l'égalité ( 1 ) est une série divergente ; au surplus log (i -t- x), pour x ■= — i, n'a pas de sens.
Si dans la formule (i) on remplace x par — x, on trouve, en supposant toujours | ce |<C 1,
log (l £C) = -5-
on a donc
, I H- a; fx x^ x""
loo. := , ( ^ ^ ,. ^
en remplaçant dans celte formule x par j, on obtient la formule suivante qui, lorsqu'on y regarde n comme un nombre naturel et h comme un nombre plus petit que i, permet de justifier la règle bien connue pour l'interpolation et qui, lorsqu'on y fait A = I, permet de calculer de proclic en procbe les logarithmes des nombres entiers
log(n + /0-logn = .[-:p^^+3^^^^^^^^, + .^^^^^p;p + ...J.
194. — Lorsque .r est positif et plus petit que i, log (i h- x)
x'^ est compris entre x et a; (n° 137). On peut donc écrire
log (l -Y X^ ^ X — %x^,
d étant une certaine fonction de x, dont la valeur reste comprise entre o et -; en désignant par n un nombre naturel et en remplaçant dans cette formule x par - et 6 par On, elle devient
log (n + i) — log 71 = r,,
d'où, en remplaçant successivement n par i, 2, ... et en ajoutant,
11 II/ X 6, 6., e„
si l'on fait croître n indéfiniment, le second membre tend évidem-
fMIAI'lTKK V. FO^fniO.NS KMOMKMAIKES ?)<}()
t vers une limite, uiiisquc la série > -^ dont les termes sont
ment vers une limite, puisq
positifs et moindres que les termes de la série ^ -^ est convergente. Le premier membre ou, si l'on veut, la diflcrence
