CHAPITRE VI. FONCTION SANS DERIVEE ^l'J

■en prenant le signe + ou le signe — suivant que r est impair ou pair. Or, le premier terme du second membre est au

plus égal, en valeur absolue, à 7î —r-^;^;^ — (n" 217j : ce second

membre, en valeur absolue, sera donc supérieur ou égal à

a"b" ab -

" (■2ab —

ab —

en d'autres termes si l'on désigne par ), le nombre, positif par hypothèse,

2ab — 2 — ■:!

ab — I

on aura

quand n augmente indéfiniment le second membre augmente indéfiniment; or cela est incompatible avec l'existence d'une dérivée pour X = 5C(j, puisque les nombres a, a', qui comprennent toujours x^, s'en rapprochent indéfiniment.

Mais on peut aller plus loin et, en modifiant un peu la condition d'inégalité imposée à a, b, montrer que la fonction/ (.p) n'admet, pour X = cCq, ni dérivée à droite, ni dérivée à gauche et qu'elle n'est, pour cette valeur de x, ni croissante, ni décroissante.

Désignons, en effet par — celui des deux nombres a, a' qui s'approche le plus de x^ en sorte que sa différence avec j;,^ soit au plus égale, en valeur absolue, à -- , et que le nombre

cos -a"Xo =: ( — i)' cos-(a"x,j — s)

soit du signe de ( — i)% puisque a"X(^ — s est au plus égal à -, en

valeur absolue.

Soient en outre

Xf^ est compris entre ces deux nombres et comme sa différence

Tasnery I. — Introduction à la théorie des fonctions 2";

4l8 INTRODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS

avec leur demi-somme est au plus égale à ^ , les différences posi-

tives x' — Xo, cCq — x' sont au plus égales à — -, au moins égales-

On a d'ailleurs.

f{x")—f(x,) 8„(x") — S,Ax,) R„(V)-R3(.r„)

f{x,) -fie') S„ Çr,) - si {x') R„(rr,)-R,!(.rO

/Y» rp' rp . rp' rp , -y»'

Les deux fractions

S)i(-^ ) S;; {Xq) Sn(j^o) b„ (.T )

sont au plus égales, en valeur absolue, à tc — i—^ — • On a, d'un autre côté

R„(a;') = R„ {x") = — {— i>6" (i + 6 + 6-^ + ...) ; R„ (.T^) = (—!)'?>"[(— lycosr. a"Xo H- (— i)' b cos - a" + ' .r^ + ...].

Il en résulte que la différence R" (œ") — R» (^o) 6st égale au produit de — ( — i)'6" par la somme de la série

I + ( — i)* cos t: à"Xç^ + 6 [i H- (■ — i)'* cos TT «" + 'a-J +.., ;

les coefficients de b, b^, ... sont positifs ou nuls ; il en est de même,.

comme on l'a déjà fait observer^ de ( — i)' cos tz a"x^^ ; la somme

de la série est donc supérieure ou égale à i et, puisque œ" — cc^,

, , , , 3 est au plus égal a ■—^, on peut écrire

A" étant un nombre au moins égal à i . On trouvera de même, en désignant encore par A' un nombre au moins égal à i

CtlAPITUE Vr. FONCTION SANS DÉUIVÉE AlQ

'On conclul de là que les valeurs absolues de

/(■'■")- fM S„(./)-SJ.r„) K{x")~Kx,) x" ,/■ — cr" — ./• "•" x" X

f(^o)-flr') ^ s„(./-„)-sl(y) ^ R„(.r,.)-ll(y) . ■sont au moins égales à

ab — I o au — • i

le dernier membre est positif si, comme je le suppose maintenant,

on a

Sous les mêmes conditions, il est clair que, dans les expressions de

c'est les seconds termes qui, étant les plus grands en valeur absolue, donnent leurs signes aux seconds membres, en sorte que si l'on désigne par X", X' des nombres plus grands que

ab — I

on peut écrire

:fu — œ'

Ces conclusions sont incompatibles avec Texistence d'une dérivée soit à droite, soit à gauche, puisque, lorsque n grandit indéfiniment, que x" et x' se rapprochent indélîniment de x^, les quantités ^'"a"h", '^^'a"b" augmentent indéfiniment. Enfin, les deux rapports

'étant constamment de signes contraires, quelque grand que soit 72, la fonction /"(.c) ne peut être ni croissante, ni décroissante pour ,x — X,.

TABLE DES MyVTIKRES DU TOME I

Préface.