CIUPITHE VI. - ÉTUDE DES FONCTIONS

2., ... appartenant à l'inlenallc (p, q) et ayant pour limite le

nombre a, telle que l'on ait

En effet si, en supposant

lin. ./:4^| = i.

■on considère une suite infinie de nombres x^, x.^, ..., Xn, ••■ appartenant à l'intervalle {p, q) et ayant a pour limite, on aura

lim. /i:^) = / :

or, à chaque nombre x„ correspond un nombre |„, compris entre Xn et a, tel que l'on ait

et l'on aura évidemment

lim. ?„==«, lim. -'-jj^ = /.

Si, donc, le rapport "^-ry;/ tend vers une limite lorsque x tend

vers a, cette limite ne pourra être autre que l. Il en sera ainsi, en particulier, si les deux fonctions/' [x] etç' (^) sont continues pour X = a et si l'on a o' (a) s o. Au surplus, cette conséquence est contenue dans le théorème direct.

Revenons maintenant à ce théorème et à la règle qui en résulte.

Il peut arriver que, pour x = a, les termes du rapport'' ,—- r soient

nuls ; dans ce cas il semble qu'on n'ait rien gagné à l'application de la règle ; toutefois le nouveau rapport peut être plus simple que l'ancien ; il peut être plus facile d'en calculer la limite. Au surplus on peut appliquer à ce rapport la même règle qu'au précédent : si, dans l'intervalle (/>, q) les fonctions/' (jc), o' {x) admettent des dérivées/" [x], d' {x), si les fonctions d [x] et d' [x] ne s'annulent

4o8 IINTRODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS

pas jaoïir d'autre valeur que x = a, si enfin le rapport-^,, / tend

vers une limite / quand x tend vers a ; le rapport -^TTr-^x tendra vers

la même limite, et il en sera par conséquent de même du rapport

fjx]

D'ailleurs, si dans l'intervalle (p, ^) les fonctions /(a?), œ (œ) admettent des dérivées d'ordre i, 2, .., i et sont, pour as = a, nulles ainsi que leurs dérivées jusqu'à l'ordre i — i, si les fonctions® (x), ©■' (x), ..., ç-;') (x) ne s'annulent pas pour d'autre valeur que X = a,\di suite d'égalités, obtenues par l'application répétée du théorème du n° 217

Lié =fM -.f'(^)-.f'M .r (s-') ^.t3") - - Mf"']

oïL les nombres ç, lË', ç", ..., B~^~^) sont compris entre xet a, met directement en évidence cette proposition : si, dans les conditions

spécifiées plus haut, le rapport -; -, , ( , tend vers une limite /,

lorsque x tend vers a, le rapport -^—^r/ tend vers la même limite. Si l'on considère par exemple le rapport

X — sin X

dont le numérateur et le dénominateur s'annulent pour a; = o, on voit, en appliquant la règle précédente, que, [x tendant vers zéro, il doit tendre vers la même limite que les rapports successifs

SUl X I

dont le dernier est évidemment la vraie valeur que l'on cherchait.

f(r) Considérons maintenant un rapport -^-7^ dont les deux termes

deviennent infinis pour x = a; je ferai tendre x vers a par des valeurs moindres que a ; le raisonnement serait le même si x tendait vers a par des valeurs plus grandes que a. Je supposerai

CIIAPITHE Vr. KTLDE DES FONCTIONS hoÇ)

qu'il existe un intervalle (/>, a), où p est [ilus pclll que a, h. Tintérieur duquel les fonctions /(./;), o (x) admettent des dérivées y (c), o' (.c), et à l'intérieur duquel aucune des fonctions f{x), « (x), f {.c), '^' (./;) ne s'annule. Dans ces conditions, on peut énoncer le théorème suivant.

Si, lorsque x tend vers a par des valeurs comprises entre p et a, les fonctions f(.c) et '^ (./;) grandissent indéfmiment en valeur

absolue et si le rapport 44^ tend vers une limite /, le rapport ? (.r)

J—r^- tend vers la même limite.

Soient, en effet, a et a; deux nombres intérieurs à l'intervalle

(/>, a), a étant supposé plus petit que x, l'égalité

011 1 est compris entre a et j;, entraîne la suivante

on peut prendre a assez voisin de a pour que les valeurs du rapport

"i , y' soient aussi voisines qu'on voudra de / pour les valeurs de z

comprises entre a et a ; ç est une de ces valeurs ; a étant ainsi fixé,

on peut prendre x assez voisin de a pour que les rapports -y-l, '^TT-^ soient aussi petits qu'on le veut, et que, par conséquent

le second facteur du second membre soit aussi voisin de i qu'on le veut ; il en résulte qu'on peut prendre a et x assez voisins de a pour que le second membre soit aussi voisin de / qu'on le veut. Gela revient à dire que le premier membre tend Acrs la limite / quand x tend vers a.

On montrerait sans peine que, réciproquement, si le rapport J-^ tend vers une limite / quand x tend vers a, il existe une suite

infinie de nombre |i, 'S.^, ..., ^h, ..., plus petits que a et tels que l'on ait

Km. £„ = a, lim. -^jf-. = l.

en sorte que si le rapport -' , ' ' a une limite pour x = a, cette

limite ne peut être que /.

Revenons au théorème direct. Il ne semble pas, tout d'abord, qu'il y ait grand avantage à appliquer la règle qu'il exprime à la recherche

fix) de la limite d'un rapport =^-7—: dont les deux termes deviennent

infinis pour £c = a, puisque les termes du rapport "'77-7-^ ne sont

pas définis pour x = a, et que ces termes grandissent indéfiniment en valeur absolue quand x s'approche de a, au moins par une suite de A'aleurs convenablement choisies ; mais ce dernier rapport peut se présenter sous une forme plus simple, qui permette d'obtenir la limite cherchée.

Soit, par exemple, en désignant par n un nombre positif, la fraction

•dont les deux termes augmentent indéfiniment quand x tend vers G par valeurs positives : pour en obtenir la vraie valeur, on est amené à chercher celle de

,„fir-'i, (LY»-'

on a diminué d'une unité l'exposant de -; en continuant de la

même façon, on arrive à le rendre nul ou négatif et à s'assurer que la limite cherchée est o.

Si c'est pour x infini qu'on a à chercher la . vraie valeur de la

fraction -^—^ , il suffira d'v poser œ = - et de faire tendre z verso. ^{x) -^ ^ z

On est ainsi amené, par les règles précédentes, à chercher la limite du rapport

CIIAinTUE M. ÉTLDK DES FONCTIONS A II

■quand z tend vers zéro; on a désigne par /' (-], 'f' f .) ce que deviennent les dérivées /'(./),'/ (./•) quand on y remplace x par '- . Le changement de variable est évidemment inutile et il

suffira de chercher la limite du rapport "Vrr^ quand x grandit

indéfiniment.

Considérons par exemple, en supposant n positif, la fraction

dont les deux termes sont infinis pour jî r= -h co ; le rapport des dérivées de ces deux termes est nx'^, ce rapport grandit infiniment quand x augmente indéfiniment par valeurs positives ; il en est de même de la fraction proposée.

236. — On peut rapprocher des règles précédentes, connues sous le nom de règles de l'Hospital, la remarque suivante, que l'on doit à M. Appell.

Considérons deux séries entières

«0 -H- ttjX H- ... -h a„cr"' -h ..., fco -H ^5? H- ••• + h„x"- + ...,

dans lesquelles les coefficients a», 6„ (/i = o, i, 2, ...) soient tous positifs ; je suppose que, pour le nombre positif x = A, les séries précédentes soient divergentes, mais qu'elles convergent pourvu que X soit positif et plus petit que A ; je ne considérerai, dans ce qui suit que de telles valeurs de la variable x. Il est, tout d'abord, bien aisé de voir que, si x tend vers A par valeurs plus petites que A, la somme de l'une ou l'autre série augmente indéfiniment " en •effet, puisque la série à termes positifs

■est divergente, on peut prendre ii assez grand pour que la somme de ses n premiers termes dépasse tel nombre positif P que l'on voudra, puis x assez voisin de A pour que la valeur du polynôme ■Ug -1- a^x H- ... + an — ix"~^ soit aussi voisine qu'on voudra de

celle qu'il prend quand on y remplace x par A, et soit, par conséquent, au moins égale à P. Il en sera de même, a fortiori, de la somme de la série, pour cette valeur de x et pour les valeurs plusgrandes.

Ceci posé, désignons par f[x) et g {x) les sommes respectives des deux séries proposées, par /i (ce), gn[x) les sommes de leurs npremiers termes, par Y.i{x), Gn{x) les restes correspondants, la. proposition que j'ai en vue est la suivante.

Si l'on a

(i) lim. ^ = 1,

n :== GO ^n

on aura aussi

(2) lim. /i^) = l.

Sous le bénéfice de la supposition (i), on peut faire correspondreau nombre positifs, si petit qu'il soit, un nombre positif p tel que,

sous la condition n >/>, le rapport ," soit compris entre / — s et

/ 4- c ; il en sera de même des rapports.

«„ + ia^" + '

„ , rf.n-\- m

b,xn'

6„ + iX" + ^ ' •

6„x» + 6„+ ix"+ 1 -h ... + 6„ + ^x" + '"•

On voit donc, en choisissant pour Ji im nombre supérieur à p et en faisant grandir m indéfiniment, que l'on a

n étant ainsi fixé, je vais supposer que x tende vers A. Puisque les séries

fl„A" + a„ + iA" + * + ....

6„A»+6„ + iA'^ + i + ...

sont divergentes, il résulte d'une remarque antérieure que F„(a;)'

CIIAI'ITIIE VI. ÉTUDE DES [■'ONCTIONS 4 1 3

<it G„ {x) augmentent indéfiniment, comme /(.') et <j (./;), quand x se rapproche indéfiniment de A. On a d'ailleurs

fjx) ^ ./„(■/■) -H Fn(:r) ^ IMr; ^F„(^). y {^) On {^■) -+■ G„ {x) G„ (./■) ^ ^ 5r^(x) '

lorsque ./; s'approche de A, les polynômes/, [x), fja{x) restent inférieurs ày], (A), ^/i(A), les quantités F„ (./;), ()«(./•) grandissant indéfiniment; on voit de suite que, dans le dernier membre, le second iacteur tend vers i ; le premier facteur reste compris entre / — £, -/ -t- c ; le produit finit donc par rester lui-même compris entre -deux nombres qui sont, l'un plus petit que / — z, l'autre plus grand que l -\- c, mais aussi voisins que l'on voudra de / — c, / H- h : comme i peut être pris aussi petit qu'on le veut, on voit que le

rapport "^^ sera aussi voisin qu'on le voudra de /, pourvu que x fj{x)

soit assez voisin de A.

La proposition énoncée et la démonstration subsiste quand on a

/ = G ; si l'on avait lim. ,- = H- co , on voit de suite, en renver-

sant les rapports, que l'on aurait alors

Une proposition analogue concerne les deux séries

f[x) = a^ H- rti .f 4- ... H- o„a-« -+-..., (j (x) = b^-+- b^ X 4- ... -I- b„x" -h ...,

-dans lesquelles les coefficients sont toujours positifs, mais que je suppose maintenant convergentes quelque soit x, en sorte que f \X), g {x) sont des fonctions entières. Si l'on a

on aura aussi

lim. M = l

4l4 INTRODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS

La démonstration est la même, si ce n'est qu'on a à faire intervenir la remarque suivante ; n étant fixe, le rapport

où /„ (x) désigne la somme des n premiers termes et F„ [x) le reste correspondant d'une série entière, à coeiïicients positifs, toujours convergente, tend vers o quand x augmente indéfiniment par valeurs positives.

Dans les deux propositions, on a supposé qiie tous les coefficients des deux séries étaient positifs ; on aperçoit de suite qu'il n'}'^ a aucun inconvénient à ce que certains-coefficients soient nuls dans l'une des séries, pourvu que les coeflicients correspondants de l'autre série soient nuls aussi ; naturellement on n'aura pas à

considérer les rapports ^ pour lesquels Un et bn sont nuls. Enfin,

On

on voit aussi aisément qu'il pourrait y avoir au commencement des deux séries des termes nuls ou négatifs^ mais en nombre Jîiii ; les deux propositions subsisteraient.

Considérons, par exemple, une série

cp (x) == «0 -I- a j x -H . . . -)- a„ j:-" + . . . , dans laquelle je suppose seulement que l'on ait

Yim. a„ = /.

/ étant un nombre positif; il ne peut y avoir au commencement de la série qu'un nombre fini de termes nuls ou négatifs ; pour a3 = I, la série est divergente, puisque / n'est pas nul ; pour a? positif et plus petit que i, elle est convergente, puisque la limite du rapport d'un terme au précédent, dont le rang augmente indéfiniment, est X. Si on compare cette série à la série

on voit que l'on a

lim. {x — i) o (j-) ;= /,

en supposant que ce tende vers i par valeurs plus petites que i,

CIIAPITIIE VI. ^0^■CTIO.N SANS DLIUVKE 4l'

lY. — EXEMPLE D'UNE FOAGTION CONTINUE SANS DERIVEE

237. — La fonction de x définie par la sôrie (i) f{x) = y 6" cos -«" X,

OÙ a et 6 sont des nombres positifs dont le premier est im entier impair et le second est plus petit que i, et qui vérifient en outre une inégalité que l'on introduira plus tard, fournit, comme Weierstrass l'a montré, un exemple simple de fonction continue sans dérivée.

Je désignerai dans la suite par S„ (x) la somme des n premiers termes de cette série et par R,, (r) son reste. La série Ih", qui a ses termes positifs, étant convergente et les termes de cette série étant supérieurs ou égaux, en valeur absolue, à ceux de la série (i), cette dernière est absolument et uniformément convergente ; elle représente une fonction continue dans tout intervalle. Cette fonction étant évidemment paire, il suffit, pour l'étudier, de considérer les valeurs de x qui ne sont pas négatives.

J'aurai affaire^ dans ce qui suit, aux valeurs de la dérivée- S'„ (x) de Sn (x) : celte dérivée est égale au produilpar t: de

— TT \ a^ 6'J sin TLrt'J X ;

sa valeur absolue est au plus égale à

ab — I

Le reste R„ [x] est compris entre les deux bornes

4l6 ÏNTRODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIO>'S

qu'il peut d'ailleurs atLeindre ; il atteint la première pour les valeurs de x qui sont de la forme — ^ — ^-, la seconde pour celles

qui sont de la forme ^, en désignant par p un nombre entier ;

en effet, si a" x est un nombre entier, il en est de même de oJ''^^ X, rt" + ^ a-, ... etc ; tous ces nombres entiers sont de même parité que a" x.

Quoique cela n'intervienne pas dans la démonstration qui va suivre, il convient d'observer que R" {.£) est nul pour les valeurs

de X qui sont de la forme --'^ ^.

On peut dire encore que si l'on écrit x dans le système de numération dont la base est a, la série f{x) s'évalue sous forme finie pour toutes les valeurs dex dont la représentation analogue a la représentation décimale (n° 11), comporte une mantisse dont le nombre de chiffres est limité : si ce nombre de chiffres est 7î,la

fonction f{x) est égale à S» (j') ± — — -, , suivant que le nombre

entier oPx est pair ou impair. On observera en passant que les nombres x pour lesquels la mantisse est limitée, et pour lesquels le nombre entier wx est pair ou impair, forment deux ensembles dont chacun est dense dans tout intervalle (').

Ces remarques suffisent à reconnaître presque immédiattement que la fonction /(j:) ne peut avoir de dérivée, au sens du n° 204, pour la valeur œ,, de x, d'ailleurs quelconque, en supposant

Si l'on désigne en effet par a = — , a' = — ^^ les valeurs approchées de cco, à -jï près, par défaut et par excès, on aura

(') M. F. Klein, dans un cours professé à GœUingue dans le semestre d'été de 1901, auquel je me permets de renvoyer le lecteur, a fait une étude très intéressante, au point de vue de la représentation graphique, de la fonction y =y(a;) et des courbes qui la représentent approximativement [j := S„ (x)] : j'ai d'ailleurs profité sur quelques points de la forme qu'il a donnée à la démonstration de Weierstr/Vss.