CHAPITRE 11. ENSEMBLES DEN0MnUA.I3LES

la suilc (I) a un premier terme (a,,), et n'a pas de dernier terme ; la suite (II) n'a pas de premier terme et a un dernier terme (a,,) ; la suite (HT) n'a ni premier, ni dernier terme. Dans tous les cas l'ensemble (E) est dénombrable, puisqu'il correspond parfaitement soit à l'ensemble des nombres entiers, soit, à une partie de cet ensemble.

72. — Un ensemble infini de nombres (ou de points) qui n'a pas de point d'accumulation est dénombrable.

Il suffit, pour le voir, de regarder l'élément a comme précédant l'élément h s'il est plus petit ; il n'y a qu'un nombre fini d'éléments entre a et h, puis qu'il n'y a pas de point d'accumulation entre a et h.

Un ensemble infini de nombres ou de points qui n'a pas d'autres points d'accumulation que ses bornes est dénombrable.

On peut supposer que l'ensemble (E) ait une borne inférieure, ou une borne supérieure, ou encore qu'il soit borné en haut et en bas. Si l'une ou l'autre borne font partie de (E), commençons par les en ôter et soit (Ei) l'ensemble ainsi modifié, dont les bornes ne font plus partie. On regardera encore l'élément a comme précédant l'élément h s'il est plus petit; il n'y a qu'un nombre fini d'éléments entre a et 6, donc (E/j est dénombrable; il en sera de même de l'ensemble (E) obtenu en introduisant dans (Ej) un ou deux nombres (les bornes) qui n'y figuraient pas.

Un ensemble infini de nombres ou de points qui n'a qu'un nombre fini de points d'accumulation est dénombrable.

Soient ao, ai,...,a^, les points d'accumulation de l'ensemble considéré (E) : supposons a, •< a^^ ..., <<a^, etsoit (Ej) l'ensemble des nombres de (E) qui sont plus petits que «j, (E^) l'ensemble des nombres de (E) qui appartiennent à l'intervalle [a.^, a.^, ..., (E,,) l'ensemble des nombres de (E) qui appartiennent à l'intervalle {fy-p — i, ff-i), (E^j | i) l'ensemble des nombres de (E) qui sont plus grands que a^, ; chacun des ensembles (Ej), (E^), ..., (E^, + i"l, d'après ce qui précède, est fini ou dénombrable ; l'ensemble (E) formé des éléments distincts qui appartiennent à l'un ou à l'autre est dénombrable.