CHAPITRE II. SUITES INFINIES

Par exemple la suile

qui n'est pas bornée en hauc, admet zéro pour point d'accimiulation.

Soit encore ii,,, = a", en désignant par a un nombre fixe rpielconquc.

Supposons d'abord « > i ; on peut poser a = i -h a, a étant positif"; on a alors

a" == (i -f- a)" > I -t- 7iy. ; il en résulte que l'on a lim. a" = + ce, puisque si A est un nom-

bre positif quelconque, il suffira de prendre n supérieur à la partie

entière de pour que «" soit plus grand que A.

Si a est plus petit que — i, on aura, d'après ce qu'on vient de dire, lim. | a'M = -f- oo, mais a" étant positif pour n pair, négatif

pour n impair, on n'a ni lim. a" = -f- oo, ni lim. a" = — oo :

on pourra écrire, si l'on veut, lira. «^'* = -i- oc, lim. a'"'*""' = — ^ .

)l = co II = co

Si a est compris entre — i et H- i, en posant a = , et en remarquant alors que h est plus grand que i en valeur absolue, on voit que l'on a lim. a" = o. Dans ce cas, si a est positif, les termes de

la suite [ii] tendent A'Crs o en décroissant ; si a est négatif, ils sont alternativement positifs et négatifs, ils oscillent autour de o en s'en rapprochant de plus en plus, à mesure que n grandit.

Si a = I, tous les termes de la suite sont égaux à i ; la suite a I pour limite ; si a = — i, les termes de la suite sont alternativement — I et -H I ; elle a deux points d'accumulation — i et -t- i.

63. — Observons en général que si la suite (u) admet un point d'accumulation a, soit qu'elle n'admette que celui-là, soit qu'elle en admette d'autres, on peut en extraire une suite infinie de termes l'i, y2, ..., Vi,, ,.., dont les rangs n^, n.,, ..., n^j, ..,, qu'ils occu-

penfc clans la suite («) vont en croissant et tels que l'on ait lim. Vp = a.

p = co

Soit en effet

une suite de nombres positifs décroissants, tels que l'on ait lim. ô^, = G ; ce sera, si l'on veut, la suite des inverses des nom-

p = OO

bres naturels. On prendra pour Vi le premier terme de la suite (ii) dont la différence avec a soit inférieure ou égale à s, en valeur absolue ; si iii est le rang- de ce terme dans la suite (ii), on aura Uj = «„^ ; on prendra pour v^ le premier terme de (m), venant après II,,, et dont la différence avec a soit moindre en valeur absolue que £2, •••; si 7?2 est le rang de ce terme dans la suite («), on prendra ^2 = «„.,» etc.. ; le reste est évident. Inversement, il est clair que, si l'on peut extraire de Ja suite (u) une autre suite ayant a pour limite, a est un point d'accumulation de la suite (11).

On démontrera d'une façon analogue que si un ensemble lE) admet un point d'accumulation a, on peut en extraire une suite infinie i\, u,, ..., V,,, ... telle que l'on ait lim. u„ = a.

Il = 00

Si la suite (a) a plusieurs points d'accumulation, on pourra en extraire ainsi diverses suites, dont chacune aura pour limite le point d'accumulation qu'on voudra. La suite (11) apparaît ainsi, en quelque sorte, comme le mélange de plusieurs suites ayant des limites différentes.

64. — Dans le cas où la suite (m) est bornée en haut, l'ensemble (U') de ses points d'accumulation est lui-même borné en haut, car un point d'accumulation de la suite («) ne peut évidemment dépasser la borne supérieure de cette suite. Cette borne supérieure joue dans diverses recherches un rôle assez important : observons d'abord qu'elle appartient certainement à (U') ; si en effet la borne supérieure B' de (U') n'appartenait pas à (U'), c'est qu'elle serait pour cet ensemble un point d'accumulation.

Or, il est bien aisé de voir que tout point d'accumulation a de (U') est un point d'accumulation de la suite [u) et, par conséquent, un élément de (U'). Soit en effet s un nombre positif quelconque :

CIIAl'lTUE U. SLJJES INFINIES 89.

il y a dans (U') un élément h tel que l'on ait \n — ^' ] < ' ; ^>

étant un élément de (U') autre que a, c'cst-à-diic un point d'accumulation de {u) autre que n, il y a une infinité de termes u,, de

la suite (u) tels que l'on ait \l) — u„\ ■< ', d'où l'on déduit

j a — iin\ <^s; (i est donc Lien un point d'accumulation de (a), donc un élément de (U'), comme on l'avait annoncé.

Ceci posé, soit a la borne supérieure de la suite (a) et A la borne supérieure de l'ensemble (U') de ses points d'accumulation. Puisque A est un point d'accumulation de la suite (a), on peut, de cette suite, extraire une autre suite (y) ayant A pour limite ; mais on ne peut certainement pas en extraire une autre suite ayant pour limite un nombre A' plus grand que A, car ce nombre A' serait alors un point d'accumulation de (a), donc un élément de (U) et il n'y a pas dans (U') de nombre plus grand que A. Cette remarque justifie le nom de plus grande des limites de la suite (u) que l'on donne quelquefois au nombre A.

Celui-ci peut encore être défini de la façon suivante : Soit s un nombre positif quelconque, il n'y a qu'un nombre limité de termes de la suite (a) qui dépassent A h- s ; car autrement il y aurait un point d'accumulation de cette suite dans l'intervalle (A -t- ;, a), c'est-à-dire un point de (U) au-delà de A. Au contraire, il y a une infinité de termes de la suite qui dépassent A — c, puisque A étant un point d'accumulation de la suite [u], il y a certainement une infinité de termes de cette suite dans l'intervalle- (A — c, A -4- c). Ainsi les nombres plus petits que A sont caractérisés par ce fait qu'il y a une infinité de termes de [ii] qui les dépassent, et les nombres plus grands que A par le fait qu'il n'y a qu'un nombre fini de termes de (u) qui puissent les dépasser. Si la . suite («) est bornée en bas, il y aura lieu de même, de considérer la plus pelite de ses limites, qui est la borne inférieure de l'ensemble (U') de ses points d'accumulation. Si la suite a une limite au sens propre du mot, l'ensemble (U') se réduit à cette limite avec laquelle se confondent la borne supérieure et la borne inférieurede (TJ').

HT. — ENSEMBLES DÉNOMBRABLES

65. — La façon même dont on a rattaché la notion de limite à 'Celle d'ensemble pose la question suivante :

Les termes d'un ensemble (E) peuvent-ils être rangés dans un -ordre tel que

(h) II,, u.^, ..., «„, ...?

Il importe d'abord de bien préciser ce qu'il faut entendre par là.

En disant que les termes de l'ensemble (E), qui, par hypothèse sont tous distincts, peuvent être rangés dans l'ordre ll^, ii^, ...^ on entend que, quel que soit l'élément de l'ensemble que l'on considère, il y a dans la suite («) un terme (et un seul) qui lui est égal et que, inversement, tout terme de la suite {ii) appartient à l'ensemble (E).

Plaçons-nous à un autre point de vue, qui va nous permettre d'introduire une notion importante.

Q6. — Considérons deux ensembles (E), (E') : imaginons qu'on puisse faire correspondre à chaque élément a de (E) un élément ■ a' de (E) (^) et un seul, qu'à deux éléments distincts a, h de (E) correspondent toujours deux éléments distincts a' , h' de (E'), enfin que chaque élément de (E') soit le correspondant d'un élément de (E) : deux éléments distincts de (E') seront nécessairement les correspondants de deux éléments distincts de (E), puisqu'à un élément de (E) ne correspond qu'tt/i élément de (li') : au lieu de dire que l'élément «' de (E') correspond à l'élément {a) de E, et que a est l'élément de (E) auquel correspond l'élément a! de (E), je dirai plus simplement que les éléments a, o! pris, le premier dans (E), se second dans (E'), se correspondent.

(') Il faut entendre par là que le fait de penser l'élément a do renscmblc E, ■éveille la pensée de l'élément déterminé a' de l'ensemble E'.

CIIAPITHE II. i:NSrM!U,ES nKNOMISHAni.ES Q I

Je qualifierai une telle coiTcspontlancc, clablic entre les élé- Tnents des dcuï ensembles, en disant qu'elle est parfaite, ou que les ensembles se correspondent parfaitement : au lieu de dire qu'il -est possible d'établir entre deux ensembles une correspondance parfaite, on dit aussi que ces deuv ensembles ont même puissance.

On ne peut évidemment établir une correspondance j)arfailc entre deux ensembles dont l'un est fini que si l'autre est aussi fini et comporte le même nombre d'éléments : c'est la possibilité d'une pareille correspondance qui permet d'affirmer que deux « collecitions d'objets » ont le même nombre (naturel).

On n'a jusqu'ici considéré que des ensembles ou des suites de nombres représentés par des points sur un axe ('). Mais il est clair qu'on peut bien réunir par la pensée des objets autres que des nombres ou leur assigner un ordre. Dans ce chapitre même, il sera, par exemple, question d'ensembles dont les éléments sont des systèmes dénombres (n° 75). On peut raisonner sur des ensembles dont les éléments sont des objets quelconques, et, comme au n° 43, dire d'un tel ensemble qu'il est déterminé si l'on peut affirmer d'un objet quelconque qu'il appartient ou qu'il n'appartient pas à l'ensemble, c[ue l'ensemble est défini si l'on définit le moyen de reconnaître d'un objet quelconque qu'il appartient ou n'appartient pas à l'ensemble : On suppose essentiellement que ces objets soient distincts. De même on peut concevoir une infinité d'objets rangés

■dans un ordre déterminé a,, u.^. ..., u,i , les lettres u^, u,, ...,

désignant non plus des nombres, mais des objets.

Les notions de home, de limite, de point cVaccannilation, ne s'appliquent plus ù ces suites ou ensembles infinis, conçus avec cette généralité. Ces notions impliquent en effet les notions de plus grand, de plus petit, de différence, qui peuvent n'avoir aucune signification pour les objets compris dans l'ensemble ou rangés dans la suite. Plus tard, on étendra quelques-unes de ces notions à certains ensembles dont les éléments sont des systèmes de •deux (ou de plusieurs) nombres. La plupart de ces extensions pourraient d'ailleurs, sans difficulté, être présentées de suite. "Mais la notion d'ensembles ayant même puissance, la possibilité

(') Sauf au n° 58 où il a élc question incidemment d'une suite infinie d'in- 'tcrvalles.

OU l'impossibilité de ranger dans une suite telle que u,, k^, ..., Un, ... les éléments d'un ensemble ne supposent en aucune façon que ces éléments soient des nombres : aussi en introduisant ces diverses notions, ai-je eu soin d'employer le mot « élément » et non le mot « nombre )) .

Voici quelques exemples de correspondance parfaite entre des ensembles infinis, choisis d'ailleurs dans le cas qui nous intéresse le plus immédiatement, celui où les éléments sont des nombres (ou des points).

67. — Considérons d'une part l'ensemble (E) des nombres naturels et l'ensemble (E') des nombres positifs pairs. A chaque élément de(E), à chaque nombre naturel, on peut faire correspondre son double, qui figure dans (E') ; chaque élément de (E') est le correspondant de sa moitié, qui figure dans (E) ; on voit de suite que la correspondance ainsi établie entre les deux ensembles est parfaite : l'ensemble des nombres naturels a la même puissance que l'ensemble des nombres pairs positifs.

On peut établir de même une correspondance parfaite entre les nombres qui appartiennent à l'intervalle (o, i) et les nombres qui appartiennent à l'intervalle [a, b), en supposant a différent de b : il suffira de faire correspondre au nombre x du premier ensemble le nombre x' = a -\- {b — a) x du second. Par exemple, on peut établir une correspondance parfaite entre l'ensemble des nombres qui appartiennent à l'intervalle (o, i) et l'ensemble des nombres qui appartiennent à l'intervalle (o, 2) ; il suffit de regarder comme se correspondant un nombre du premier ensemble, et le double de ce nombre, dans le second ensemble.

Si l'on peut établir une correspondance parfaite entre les ensembles (E) et (E") d'une part, entre les ensembles (E') et (E") d'autre part, on peut établir une correspondance parfaite entre les ensembles (E), (E') qui, ainsi, ont une même puissance : il suffira de faire se correspondre dans (E) et dans (E') deux éléments qui correspondent à un même élément de (E"). Par exemple, l'ensemble des nombres qui appartiennent à l'intervalle (a, b) et l'ensemble des nombres qui appartiennent à l'intervalle (a', b') ont môme puissance que l'ensemble des nombres qui appartiennent à l'intervalle (o, i) i les deux premiers ensembles ont même puissance.

CIIAPITIIK H. ENSEMIiLKS DKNOMIiHAlîLCS f)3

On dit ((ii'mi ensemble (I^,) est conl.cna diins l'ciisemMe (E), ou que l'ensemble (E) contient l'ensemble (E,), si tout ('lomentde (E,) est un clément de (1*]) : celte façon de parler qui, pour les cnseml)les de nombres a déjà été introduite au n" 46, n'exclut ]ias l'identité entre les ensembles (1^^), (E,) ; l'identité a Jieu lorsfpic chacun des ensembles est coiileiiu dans l'autre.

On dit rpie l'ensemble (Ej) est une partie de l'cnscndjle (E) lorsque l'ensemble (E,) est contenu dans l'ensemble (E) et que certains éléments de (E) n'appartiennent pas à (Ej) ; ainsi l'ensemble des nombres impairs ou des nombres pairs, ou des nombres premiers, est une partie de l'ensemble des nombres entiers. L'ensemble des nombres qui appartiennent à l'intervalle (o, i) est une partie des nombres qui appartiennent à l'intervalle (o, 2). Les notions de contenu ou de contenant, et de partie, ne supposent pas que les éléments des ensembles considérés soient des nomjjres.

L'ensemble des nombres positifs pairs est une partie de l'ensemble des nombres naturels ; on a montré plus haut que les deux ensembles ont même puissance : on voit donc qu'un ensemble infini peut avoir la même puissance qu'une de ses parties.

De même l'ensemble des nombres qui appartiennent à l'intertervalle (0,2) a la même puissance que l'ensemble des nombres qui appartiennent à l'intervalle (0,1), lequel est une partie du premier intervalle. Ceci ne peut avoir lieu que pour un ensemble infini et le fait de ne pouvoir avoir même puissance qu'une de ses parties est ce qui caractérise les ensembles finis, les collections, au sens de l'arithmétique élémentaire.

68. — On dit qu'un ensemble (E) est dénombrable lorsqu'il a la même puissance que l'ensemble des nombres naturels : dire que l'ensemble (E) est dénombrable, c'est dire qu'on peut établir une correspondance parfaite entre les éléments de (E) et les nombres naturels : celte correspondance étant établie, représentons chaque élément de (E) par une même lettre affectée d'un indice ésal au nombre naturel qui correspond à cet élément, et rappelons-nous qu'à chaque nombre naturel correspond un élément de (E) : les éléments de (E) pourront être représentés par la suite infinie

g4 WTRODUCTION A LA TIIÉOUIE DES FO?îCTIO>'S

Chaque élément de (E) occupera un certain rang dans cette suite et le n" terme de cette suite sera l'élément de (E) cpi correspond au nombre naturel n. Inversement il est clair que si les éléments de (E) peuvent être rangés clans une telle suite infinie, l'ensemble (E) est dénombrable.

69. — Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit cju'on puisse assigner aux éléments de (E), supposés en nombre infini, un ordre' de succession c]ui satisfasse aux conditions suivantes, évidemment réalisées pour un ensemble dont les éléments correspondent à ki suite des nombres naturels.

i" La loi d'après laquelle on décide qu'un élément a de l'ensemble précède (ou suit) un autre élément h n'implique pas contradiction : c'est-à-dire que si a précède b, h suit a; cjue si a précède b, et si b précède c, a précède nécessairement c.

2° Enfin, il n'y a qu'un nombre fini d'éléments cpii précèdent un élément cjuelconque a de (E) ; en particulier il y a un élément de (E) qui n'est précédé d'aucun autre, qui est le' premier. Le nombre d'éléments qui précèdent a, augmenté d'une unité, est le nombre naturel auquel correspond a. Si ces diverses conditions, qui n'impliquent en aucune façon la supposition que les éléments do (E) soient des nombres, sont vérifiées, l'ensemble est dénombrable r l'ensemble étant infini, la seconde condition implicjue qu'il n'y a pas dans (E) de dernier clément, d'élément cjui ne soit suivi, d'aucun autre.

D'après cela il est clair que si (E) est dénombrable, tout ensemble (E,) contenu clans (E) est fini ou dénombrable. Si, en effet,, l'ensemble (EJ est infini, on pourra regarder un élément a de (EJ comme suivant ou précédant un autre élément b selon c[ue a considéré comme appartenant à (E) suit ou précède b considéré aussi comme appartenant à (E) ; il est clair que les conditions i° et 2" qui, par hypothèse, sont vérifiées pour l'ordre adopté dans (E) le seront encore dans (EJ.

70. — Si (E) est un ensemble dénombrable, et si l'on y introduit un nombre uni p d'éléments qui n'y figuraient pas, le nouvel ensemble (E') ainsi formé sera dénombrable.

Il suffira de faire correspondre les p nouveaux éléments aux.

CIIAI'ITI'.E II. ENSI^MIîLKS l)K>OM;:itA:iLES Q.J

nomljrcs i, 2,..., /) et de faire correspondre an nombre n -\- p, l'élément do (E') qui, en tant qu'il faisait [)arlie de l'ensemble (E), correspondait un nombre n.

Si (E), (E') sont deux ensenil)]cs dénombrablcs, l'ensemble (E") des éléments distincts qui appartiennent soit à (E ), soit ù (E') est aussi dénombrabic : je représenterai cet ensemble par le symbole (M

Supposons d'abord que les ensembles (E), (E') n'aient pas d'élément commun : on pourra faire correspondre au nombre 2/1 l'élément de Tenscmble (E) -l- (E') qui, en tant qu'il appartenait à (E), correspondait au nombre n, et au nombre ip — i l'élément de l'ensemble (E) -h (E') qui, en tant qu'il appartenait à (E), correspondait au nombre p.

Si (E) et (E') ont des éléments communs, l'ensemble des éléments de (E') qui ne figurent pas dans (E) est une partie (Ej) de (E') : l'ensemble (E'J est fini ou dénombrable ; dans les deux cas l'ensemble (E) -h (E'J qui ne diffère pas de l'ensemble dénombrable (E) H- (E'), est lui-même dénombrable..

Cette proposition s'étend évidemment à trois, quatre,... ensembles dénombrables : en général si (E), (E'),... (E(''~ ^)) sont des ensembles dénombrables, il en est de même de l'ensemble

Par exemple, l'ensemble des nombres entiers positifs, nuls ou négatifs est dénombrable ; au surplus, on peut ranger cet ensemble dans la suite

et faire correspondre chaque terme à son rang, c'est-à-dire le nombre entier p, s'il est nul ou positif, au nombre naturel 2/) -h i, et. s'il est négatif, au nombre naturel — 2p. Inversement chaque nombre

(1) Cette notation s'étend naturellement à un nombre quelconque d'ensembles (E), (E'), (E"),... : le symbole (E) -t- (E') + (E") + ... représente l'enscmblo des éléments qui entrent soit dans (E), soit dans (E'), soit dans (E)...., chacun de ces éléments n'étant pris qu'une fois, conformément à la convention faite dene considérer que des ensembles dont tous les éléments soient distincts.

naturel correspond à sa moitié changée de signe s'il est pair et, s'il est impair, à la moitié du nombre entier qui le précède immédiatement.

71. — Cette remarque va nous permettre de mettre sous une autre forme les conditions nécessaires et suffisantes données au n° 69 pour qu'un ensemble infini soit dénombrable. Pour qu'un ensemble (E) soit dénombrable, il faut d'abord qu'on puisse imposer à ses éléments un ordre de succession, c'est-à-dire que deux éléments a et h de l'ensemble étant donnés, on puisse dire lequel précède (ou suit l'autre) : bien entendu, la loi de succession ne doit pas être contradictoire ; c'est la condition 1° du n° 69. Il faut •en outre, que quels que soient les éléments a, b de l'ensemble, le nombre des éléments de l'ensemble, qui, d'après l'ordre de succession imposé, sont entre a et h, soit fini. (Un élément qui est entre a et b est, si l'élément a précède l'élément b, un élément qui suit a •et qui précède b ; les notions du plus grand ou du plus petit n'ont rien à faire ici).

Sous ces conditions, l'ensemble est fini ou dénombrable. En effet on pourra faire correspondre un élément a quelconque au nombre 0, puis ; si b est un autre élément quelconque de l'ensemble, on le fera correspondre à un entier positif ou négatif suivant que b suivra ou précédera a, entier dont la valeur absolue sera le nombre d'éléments de l'ensemble qui sont entre a et /?, augmenté d'une unité.

On aura fait ainsi se correspondre d'une façon parfaite Tensemble considéré d'une part, et l'ensemble des nombres entiers ou une partie de cet ensemble. Ecartons le cas où l'ensemble (E) serait fini. Alors, ou bien l'élément a auquel on fait correspondre le nombre o sera précédé d'un nombre fini d'éléments et suivi d'une infinité, ou bien précédé d'une infinité et suivi d'un nombre fini d'éléments, ou bien précédé et suivi d'une infinité d'éléments, en sorte que, si l'on désigne chaque élément de l'ensemble par la lettre 11 affectée d'un indice positif, nul, ou négatif, les éléments de l'ensemble pourront être rangés dans une suite appartenant à l'un des trois types suivants

(II) ..••, W 2' «— 1' «0' "l' "2 '•••> "/JÎ

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