CHAPITRE II. ENSEMBLES DENOMBRABLES lOI

Je vais prouver que l'on peut assigner aux éléments (a, fj, ..., ).) de (E) un ordre qui satisfasse aux conditions du n" 69. On conviendra par exemple de ranger l'élément (a, fj, ..., ).) avant l'élément (a', /5', ..., 1') si la somme des valeurs absolues des entiers ex., 1^, ..., X est inférieure à la somme des valeurs absolues des entiers a', /5', ..., 1' et lorsque les deux sommes sont égales, si l'on a a <C a', ou dans le cas où a = a', si l'on a ^ <C /5', ou dans le cas où l'on a à la fois a = a', |j = jj', si l'on a y << y' etc.. Avant un élément (a, |S, ..., X) il n'y a qu'un nombre fini d'éléments, puisqu'il n'y a qu'un nombre fini de systèmes de p nombres entiers, positifs nuls ou négatifs, tels que la somme de leurs valeurs absolues soit inférieure ou égale à | a | H- ||5 | -i- ... -i- | ). |. Dans cet ordre, fixé d'ailleurs très arbitrairement, le premier élément est le système (o,o, ..., o), le second (o,o, ..., — i), le troisième (o,o, ..., i), etc....

Toute partie de l'ensemble (E) est finie ou dénombrable : par conséquent, tout ensemble infini dont les éléments seraient certains des systèmes de p nombres entiers (a, |3, ..., X) est certainement dénombrable ; par exemple on constituerait un système dénombrable avec les éléments (a, l'j, ..., X) où tous les entiers a, |S, ..., X seraient positifs.

Cette proposition, dont on va tirer des conséquences assez singulières, va permettre d'abord d'expliquer la signification de quelques expressions usuelles.