CHAPITRE m. FRACTIONS CONTINUES 2l

rj.n sera un nombre positif ou nul ; la relation '^n = «A - i ± '2„2 entraîne l'inégalité

ou

sous cette forme, on voit que a'„ — a'^i est supérieur ou égal à %-i — a^-2, à %-2 — 2n- 3, à a', — a; = I + y.i ; les inégalités

%-%-i^i, ...,a'i-aui,

entraînent %^n-h i, pour n = i, 2, .... ; la série équivalente à la fraction continue est donc absolument convergente et la propo-

sition est démontrée. La somme de la série ^ ^, -^ est au

plus égale à la somme de la série 7, — -, , c'est-à-dire à i

^ ° Jmmà n{n ^ l)

(n* 89). Si donc on désigne par A la valeur de la fraction, on a

A ne peut d'ailleurs atteindre l'une des valeurs a^ — \,a^-\- \ que si la somme de la série ^ -r, -^1 est égale à i, ce qui ne peut

avoir lieu que dans le cas où l'on aurait 2J, = n -h i , et par conséquent a,i = G, (/i = I, 2, ...) ; cette circonstance exceptionnelle se présente effectivement, comme il est aisé de le voir, dans le cas où. l'on a a„ = 2, 6rt = — i (n = i, 2, ..).

Si, sans rien supposer sur les quantités ûq, a^, ... un, bi,bn, ..., bn, on suppose | 6„^,. | := i, ] a,i^,. ) ^ 2, pour /' = i, 2, ,.., on

voit, d'après cela, que la fraction q'- définie au n° 142, admet, pour r infini, une limite A„ qui vérifie les inégalités a» — I ^ A„ ^ a„ -t- I ; on en conclut que si les deux quantités

2l4 INTRODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS

sont de même signe, la fraction continue est certainement convergente, et que sa valeur A est comprise entre

Sn^^ACn— l) ^ gn-2 , a*», ^ (o,, + l) -+- g„2 ,

2„i (a„ - I) -+- %,,' a„i [Cl,, -t- I) -+- L>„2'

OU, dans le cas plus particulier où tous les nombres 61, b^, ... sont égaux à I,

■^n ■=*■■?!. — 1 "Ajj — T" ^n — i

Il n'est peut-être pas inutile d'observer que l'on parvient à des fractions continues pour lesquelles 6« est égal à — i et où «„ est, pour 71 = I, 2, 3, ..., un nombre entier supérieur ou égal à 2, en raisonnant comme on a fait au n° 33, c'est-à-dire en partant d'un nombre A, et en posant successivement

^■ = «0 — ^. Aj=ai — ^, A, = a, — ^,... :

«0 désigne la valeur approchée de A à une unité près, par excès. A^ est plus grand C[ue i ; Oj, au moins égal à 2, est la valeur approchée de Aj à une unité près, par excès, etc.

145. — En désignant par ^1, ^j^, ..., 71,73. ••• deux suites données ne contenant pas de terme nul, considérons, à titre d'exemple, la fr-action continue

On a ici, en reprenant les notations du n° 143.

«0 = 0, Oj = 6j -I- Yj, b, = p,

Ctn = Pn H- ^{n, b„ = — P„Y«1 {n = 2 , 3, ...),

et par conséquent

CnAPlTRE m. FRACTIONS CONTEVUES 2l5

puis, en faisant .'f„ = y,y^ ... y„.s„,

Sn S„ 1 — — >

7iT2 ••• 7"

Yl Ï]Y2 T1Ï2 ••• ':n

on parvient de la même façon à l'expression de 2,, et l'on a finalement

'-^» = Y)Y2 ••• YnS«. 2„ = YjY2 ... Yn (i + s„),

■*« "il

On en conclut que la fraction continue proposée est convergente si la série

(?) t + M= + ...^PA^ + ...

Il 1112 I 1 12 ••• ['!

est convergente et admet une somme différente de — i , ou encore si la valeur absolue de la somme Sn des n premiers termes de cette série augmente indéfiniment avec n ; dans le premiers cas la valeur

s de la fraction continue est en désignant par s la somme de

la série ; elle est i dans le second cas ; en particulier si tous les nombres pi; pj, ..., yj, y^, ... sont positifs, la fraction continue est toujours convergente. Inversement la proposition précédente permet de transformer la série (|5) supposée convergente, en fraction continue ; en l'appliquant, par exemple, à la série

on trouve sans peine

^'46. — Regardons les quantités a,,, 6„ comme données pour les valeurs de n égales ou supérieures à 2, et considérons les deux suites infinies p„ p„ ... p„, ..., q^, q„ ..., cj,„ ..., dont les élé-

2l6 INTRODUCTION A LA THÉORIE DES FONCTIONS

ments p», qn sont, à partir de n = i, respectivement définis au moyen de/)o,/>i, q^, q^, qui sont regardés comme des données, par les relations de récurrence

P« = Pn—iO-n H- Pn-^On, Çn = qn-i «n + qn- ^^n-

L'analogie de ces relations avec les relations du n° 143 suggère

naturellement l'idée de mettre le rapport — sous la forme d'une fraction continue limitée

Pn

dans laquelle les quantités a.^, a^, ..., a„, h^, 63, ..., 6« sont les mêmes que celles qui figurent dans les relations de récurrence : on va déterminer les trois éléments initiaux a^, Oj, h^ de manière que l'égalité précédente ait lieu pour toutes les valeurs de n. Conservons pour la fraction continue illimitée formée avec les éléments a^, 6j, cfj, b^, ..., les notations du n" 143.

Puisque l'on doit avoir 3(, = i , il est clair qu'on ne peut pas s'arranger pour que les quantités ^n, â„ soient respectivement identiques aux quantités pn, qn ', niais on peut faire en sorte que l'on ait, pour les valeurs o, i, 2, .,., de /i,

fp 7i' G) 2l* .

7o 'io

il suffira de résoudre par rapport ka^, a^, b^ les relations

ÇP Po c? El 6) Il

Ho yo Ho

c'est-à-dire de prendre

Po „ ^1 h — Pi^o~Mi .

Les relations

^n = ^n-l^n + ^n-2&n, Pn^^Pn—l^n -^ Pn — iK,

'an = %-ian -h Qn-ibn, qn = qn-i^n "^ qn-^K,