CHAPITRE III. FRACTIONS CONTINUES 'À I F

comme les polynômes '.^,-, ^; sont formés au moyen des variables Oo, a,, ..., a,, et 60, b^, ..., h,-, on a

•^'n-\-r ■-'■(( — i'^n,r ~T~ -^ n— > ~n,r 'hiy

~n-\-r -—■ ~n — 1 ■'•;i,r ~l~ ~;î— 2~îi,c "n-

La fraction continue illimitée est dite convergente ou divergente suivant que --- a, ou non, une limite pour n infini.

Les dernières relations montrent cpie si 6„ est nul, toutes les réduites sont égales, à partir de la [n — i)° ; c'est d'ailleurs ce qui apparaît sur la fraction continue illimitée, qui dans ce cas doit être regardée comme limitée : j'exclurai ce cas dans ce qui suit.

On a, quel que soit le nombre naturel n.

ir„i2, = (-i)"-'6,6, fc„;

le premier membre n'est jamais nul, puisqu'on suppose qu'aucun des nombres hn n'est nul.

On a aussi, en excluant le cas où quelqu'une des quantités 2i , 22, . . . serait nulle,

cT — ^0 + ôô ô~ô +---^C— I) -7) Tj— '

143. — La fraction continue est convergente ou divergente suivant que la série

est convergente ou divergente. C'est maintenant cette série qu'il convient d'appeler série équivalente à la fraction continue : sa somme, si elle est convergente, est la valeur de la fraction continue illimitée.

'^" + '• ^ '^n - 1 -Su.r + 'Sn -2 2».r b„ ^

%^.r 2„i2„,, -h2„o2„,,6„' lorsqu'on y regarde n comme fixe et qu'on fait grandir r indéûni-

L' égalité

ment, montre que, si ôt^ admet, pour r infini, une limite A„, la

fraction cT — ' admet, pour r infini, la limite

On doit toutefois exclure le cas où le dénominateur de cette fraction serait nul, cas auquel on aurait

Réciproquement, la relation entre cf~^ ^^ W^ pouvant être résolue par rapport à cette dernière quantité, on voit que, si la fraction continue est convergente, la quantité -^ a une limite pour r infini, sauf le cas où l'on aurait

en désignant par A la limite, pour r infini, de q"

144. — Lorsque les nombres h^, 6^, ... sont tous égaux à d= i et que les nombres a^, a.^, ... sont tous, en valeur absolue, supérieurs ou égaux à 2, la fraction continue est convergente (').

Posons en effet

(1) M. Pringsheim, dans un Mémoire sur la convergence des fractions conti- Bues (Sitzungsberichte de TAcadémie des Sciences de Munich, t. XXVIII, p. 2o5), donne pour le même cas | 6n j = i, une règle un peu plus large. Il suffit, pour que la fraction soit convergente, que Ton ait, pour toutes les valeurs de l'indice n,

Au reste, divers résultats du présent paragraphe sur les fractions continues, en particulier la proposition du n" 145, sont tirés du Mémoire de M. Pringsheim.