Si l'on se donne une fraction continue
es
on peut la transformer, et cela d'une infinité de façons, en une autre fraction continue
telles que les réduites de l'une soient respectivement égales aux réduites correspondantes de l'autre. Conservons, pour la fraction if) les notations dun" 142, en accentuant les quantités analogues pour la fraction (/') .
Les éléments de cette dernière fraction devront être tels que l'on ait
en désignant par A„ un nombre toujours différent de o et qui. pour /i = o se réduise à i, afin que l'on ait % = Ù^= i. Les relations
permettraient de déterminer, à partir de n = 2, a„et 6„ au moyen de '£„, ..., a„o, ainsi que a'„, h'„ au moyen de 'S',„ ..., %, ; en
^lO INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS
remplaçant ces dernières quantités par ^\ . . , ^^^^^ — = , on parvient de suite aux relations
Inversement, si ces dernières relations sont A^érifîées et si l'on a en outre
J„A„ ^^--JT' 2,-^,
■c'est-à-dire
il est clair que l'on aura, pour n = o, i, 2, ...,
cal 21Z1 G)' 22i
Ainsi les conditions nécessaires et suffisantes pour que chaque réduite de la fraction (/') soit égale à la réduite correspondante de la fraction (/), consistent en ce que l'on ait
et que l'on puisse déterminer une suite de nombres non nuls ^0 = ï, Xj, ^25 •••> X„, ... tels que l'on ait
a'n = -—^ On, (n = I, 2, 3, ...)
Il est à peine utile de dire que, si l'on se donne arbitrairement Aj, )v2, ..., et si l'on détermine a'o, b[, a[, h[^, ... parles relations précédentes^ les réduites de la fraction (/') sont respectivement •égales aux réduites de la fraction (/).
En écartant le cas où quelqu'une des quantités an, bn serait nulle, on peut dire encore que les conditions nécessaires et suffisantes
CIUriTRE III. FRACT10:VS CONTINUES 2I9
pour rcgalltc des réduites, prises respectivement dans les fractions (/) et (/'), consistent dans les relations
an — a,.,
En les supposant vériFices on pourra prendre
" a[ a.^ '" d'il
Si, par exemple, on veut que dans la fraction (/'), on ait 6«= I (/z =: I, 2, 3, ...), on devra prendre
Si l'on voulait avoir 6^, = — i , on prendra
