Introduction à la théorie des fonctions d'une variable

I. — INTEGRALES PAR EXCÈS ET PAR DÉFAUT. MESURE DES ENSEMRLES. FONCTIONS A VARIATION BORNÉE

238. — Étant donnée une fonctiony(;r) définie dans l'intervalle (a0, a), il est naturel de se demander s'il existe une fonction F (x) qui, dans le même intervalle, admette f (x) pour dérivée; cette fonction, si elle existe, est dite fonction primitive de la fonctionna?) . Elle est nécessairement continue dans l'intervalle (a0, ai puisqu'elle admet une dérivée en chaque point de cet intervalle, et qu'elle est donc continue en ce point (n° 204 .

Il est aisé de trouver toutes les fonctions définies dans l'intervalle (a0, a) et qui y admettent /(x) pour dérivée, si l'on en connaît une F (ce) : soit en effet <P (x) l'une quelconque des fonctions cherchées ; dans l'intervalle (a0, ci), la dérivée de la fonction O(sc) — F (x) sera constamment nulle; cette fonction sera donc une constante G, et l'on aura

Réciproquement, si G désigne une constante quelconque, il est clair que la dérivée de la fonction F (a?) + C sera la même que la dérivée de la fonction F (x). On a donc le théorème suivant :

Tannehy II. — Introduction à la Théorie îles fondions 1

2 INTRODUCTION A LA THEOItlE DES FONCTIONS

Si, clans l'intervalle (a0, a), la fonction F (a?) admet pour dérivée la fonction f(x), toute fonction qui, dans ce même intervalle, aura f[x) pour dérivée s'obtiendra en ajoutant à F [x) une constante; toutes les. fonctions ainsi formées auront d'ailleurs f(x) pour dérivée.

On peut évidemment déterminer la constante de manière à obtenir une fonction qui prenne une valeur F0, arbitrairement donnée, pour une valeur x0 appartenant à l'intervalle (a0, a) ; cette fonction est ¥ (x) + F0 — F(x0).

Toutes les fonctions primitives de la fonction

A„ccm H- Ajœ'»-1 + ... -f- km iX H- Km,

où les A désignent des constantes, s'obtiennent en ajoutant une constante arbitraire à la fonction

Aocc"^1 k{xm , x2 .

^-r7+^r-f-...Am 1T + A^.

Les fonctions ex, ax, sin x, cos x admettent pour fonctions primitives les fonctions eT, i , — cos x, sin x ; dans tout inter-

log a

valle dont les limites sont des nombres positifs, la fonction xm, où m est une constante autre que — i, admet pour fonction

primitive — — — ; la fonction x-1 = - admet pour fonction primitive la fonction log \x\, dans tout intervalle auquel o n'appartient pas.

Les exemples qui précèdent ne nous apprennent rien sur la réponse à la question posée au début : étant donnée une fonction f(x) définie dans un intervalle (cio, a), existe-t-il une fonction F (x) dont la dérivée soit, dans cet intervalle, égale à f'x) ? La solution de cette question, pour une classe étendue de fonctions, dépend de l'étude de certaines sommes dans lesquelles le nombre des éléments augmente indéfiniment tandis que ces éléments décroissent indéfiniment et qui, sous des conditions qu'on précisera, tendent vers des limites. La considération de pareilles sommes s'introduit tout naturellement, en géométrie, lorsqu'on cherche à évaluer l'aire d'une courbe ; je les définirai, dans le numéro suivant, en restant au point de vue de la pure analyse.