CHAPITRE VII. INTEGRALES DEFINIES

239. — Soient a0, a [a0 <C a) deux nombres fixes quelconques ; soit f(œ) une fonction déterminée, dont je suppose seulement qu'elle est bornée dans l'intervalle (cio, a) (i). Je désignerai par m et M ses bornes inférieure et supérieure dans cet intervalle.

Partageons l'intervalle [a0, a) en n intervalles partiels

en désignant par ai, ai, ..., an-i des nombres assujettis aux conditions

Soient m4 et Mi, m2 et M2, ..., mn et M„ les bornes inférieure et supérieure de f(x) dans les intervalles partiels (a0, ai), ..., (ûU-i, a). Soient fl} f>, ..., fn des nombres assujettis aux conditions

et considérons les trois sommes

S == («i — a0) /nd -h (a2 — «i) m2 -+-... -f- (a — «„,) m„ (2) S = (d! - «„}/, 4- («2 — «i)/a -ï- ... -4- (a — a,,^) fn S = («, — cr0) Mx -f- (a2 — at) M2 -h ... H- (a — a„i) l\I„

dont je dirai qu'elles sont relatives à la décomposition [oq, alt ... a, de l'intervalle (a0, «)• Ces sommes s'introduisent naturellement en étudiant géométriquement le problème posé à la fin du n° précédent.

Puisque les facteurs ai — a0, a> — ai, ..., a — an— i sont tous positifs il est clair que l'on a

et il est d'ailleurs bien aisé de voir que lorsque fi, A, ■■■, f„ prennent toutes les valeurs compatibles avec les conditions (i), S prend toutes les valeurs appartenant à l'intervalle (S, S). Je désignerai les deux sommes S, S, dont les valeurs sont déterminées quand on

(!) Dans ce numéro et clans les suivants jusqu'au n° 248, toutes les fois qu'il sera question d'un intervalle (a, (3) on supposera toujours a < j3.

se donne la décomposition (a0, q,\, ... a) de l'intervalle, sous les noms de sommes inférieure et supérieure relatives à cette décomposition. La borne inférieure m de la fonction f(oo), dans l'intervalle (a0, a) est la plus petite des bornes inférieures mi, m2, ..., mn relatives aux intervalles partiels (a0, ai), (ai, as), ..., (an—i a); de même la borne supérieure M est le plus grand des nombres M15 M2, ..., Mn. Si, dans les seconds membres des égalités qui définissent S et S, on remplace 77? i, m2, ..., mn par 7??, et Mi, M2, ..., Mn par M, on voit tout de suite, puisque les coefficients (ai — a0), (a2 — ai), ... sont positifs, que l'on a

En résumé, si les trois sommes S, S, S se rapportent à la même décomposition, on peut écrire

J'aurai besoin de quelques remarques concernant les sommes supérieures et inférieures, que je place immédiatement.

Considérons la décomposition (a0î ai, -.-, an-\, a) et la somme supérieure S qui lui correspond. Introduisons un nombre intercalaire de plus, par exemple a2 entre a2 et a3. Soient M'2 et M"2 les bornes supérieures de f(x) dans les intervalles (a2, a'2), (a2, a3) ; la borne supérieure M3 dans l'intervalle (a2, a3) est le plus grand des deux nombres M^, M^. A la nouvelle décomposition, où les deux intervalles partiels (a2, a2), (a.', a3) remplacent l'intervalle (a2, a3) de la première, correspond une nouvelle somme supérieure, cjui ne diffère de la première S que parce que la somme

(ai - a2) W2 -H (a, - oJ) MJ.

remplace le terme unique

(«3 — «2) M3 = (ûj — a8) M3 + («3 — ai) M3 ;

la différence, positive ou nulle, entre S et la nouvelle somme supérieure est donc, suivant les cas, égale à l'un ou l'autre des nombres

K ~ «i) (M, - MJ). (a; - a,) (M, - M/.) ;

elle ne peut jamais dépasser r, (M — m), en désignant par rt le plus grand des écarts des intervalles