CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE IyQ

Je désignerai ce nombre sous le nom d'ordre \ du point A. relatif au lien T .

Puisque [£0, /j]^ est une fonction continue de a, b aux environs d'un point qui n'appartient pas au lien T , il en est de même de n qui, aux environs de ce point, ne peut donc que demeurer constant. Quand, en particulier, le point a, 6 est très éloigné, le nombre n doit être très voisin de o, comme on l'a vu à la fin du n° 292 ; il est donc nul. Au reste, celte dernière conclusion résulte aussi de ce que, en vertu d'une remarque antérieure, le nombre [/0, fj est nul toutes les fois qu'on peut regarder le point A comme l'origine d'une demi-droite qui n'a aucun point commun avec le lien fermé (T). L'ordre n du point A restera évidemment nul si ce point se déplace sur un lien qui n'ait aucun point commun avec T . On prévoit que la considération de ce nombre entier permettra de décomposer le plan en régions distinctes, où il restera le même et dans chacune desquelles ne se trouvera aucun point de T : c'est ce qu'on élucidera un peu plus tard ; j'aurai alors besoin des définitions et remarques qui suivent.

296. — Considérons un lien T , ouvert ou fermé, défini par les formules

Je continuerai d'appeler M le point de ce lien dont les coordonnées sont f(t), 'b (J).

Je dirai que le lien (T) traverse une droite A en un point C, si les deux conditions suivantes sont vérifiées.

i° Pour une valeur a de la variable t, intérieure à l'intervalle (t0, /j), le point M est en C 'sur A .

2° Il existe deux nombres a', a" 'a! << a ■< a appartenant à l'intervalle (*0, tt), tels que M soit d'un côté de (A) pour «'< /<a et de l'autre côté pour a < / < a".

(') Cette expression a été introduite par M. L. D. Ames dans sa thèse «An arithmelic treatment of some problems in Analysis silus » Baltimore, 1905. M. Ames a montré l'importance de cette notion ; j'aurai d'ailleurs l'occasion d'utiliser un peu plus loin son Mémoire, pour la démonstration d'un théorème fondamental (n03 3o6,..., 309). Voir aussi Osgood, Lehrbach der Fanktionentheo rie, t. I, ch. v.

Dans ce qui suit, je supposerai que le lien (T) est fermé (';.

Je désigne par (T0) la partie du lien (T) qui correspond aux valeurs de t appartenant à l'intervalle (a1, a"), par (T,) la partie restante, qui correspond aux valeurs de / appartenant aux intervalles (t0, ex!) et (ex" , /,). D'après les suppositions précédentes le lien partiel (T0) n'a pas d'autre point commun avec (A) que le point C.

Fis. 10.

Je suppose en outre que le lien partiel (T,) ne passe pas par le point C, en d'autres termes ce point n'est pas un point double du lien (T) ; on sera sûrement dans ce cas si le lien est simple. La distance du point G au lien partiel (T, ne sera pas nulle; on pourra donc prendre deux points A, B sur la droite (A) situés, de part et d'autre de G, à une distance de G moindre que la distance de C à (T,) et l'on sera dès lors certain que le lien (Tj) n'a aucun point sur le vecteur AB. Je vais montrer que, s'il en est ainsi, on a

[V. *;]. — Po»<iL = ±a*.

en prenant le signe -+- lorsque le lien traverse le vecteur A.B de gauche à droite, c'est-à-dire lorsque les points de ce lien qui corres-

(') La défînilion précédente semble exclure le cas, que je ne considérerai pas ici, où le lien fermé traverserait la droite (\) au point qui est à la fois l'origine et l'extrémité du lien. Le lecteur apercevra sans peine les modifications qu'il conviendrait d'apporter au langage pour ne pas exclure ce cas, que l'on peut d'ailleurs ramener au cas considéré par un changement de la variable. — On peut aussi regarder les fonctions ç(f), di (l) comme périodiques. Il me paraît inutile d'insister sur ces détails.