CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE IOI

pondent aux valeurs de / comprises entre a.' et a sont à gauche du vecteur et que les points du lien qui correspondent aux valeurs de t comprises entre a et a" sont à droite ; on prendra au contraire le signe — lorsque le lien traverse le vecteur de droite à gauche.

Soit P la position du point M qui correspond aux valeurs /„, l, du paramètre ; soient M', M" les points du lien qui correspondent à des valeurs /', t" telles que l'on ait

on aura, en employant les mêmes notations qu'au n° 292

+ [t, a - [f , a -+- if, ',]. - [«", yA-

Le premier membre est un multiple de 2 71 ; dans le second membre, les termes qui figurent sur la seconde ligne sont aussi petits qu'on veut pourvu que t' et /" soient suffisamment voisins de a ; on a d'ailleurs, puisqu'il n'y a pas sur le vecteur AB de points du lien pour les valeurs de t qui appartiennent aux intervalles (*.. *')' (f, *■),

[«0. '], - [*.. n. = (M'A, M'B) - (PA, PB), [*, '•]. - [<". Ma = (pA, PB) -(M'A. M'B) ;

la somme des seconds membres est la différence

des angles compris entre — n et -+- % sous lesquels on voit le vecteur AB des points M', M"; or le premier de ces angles, dans l'hypothèse où l'on s'est placé est très voisin de ~, le second est très voisin de — tt ; on a donc dans tous les cas,

[<•» 'il. — [«Q.JlL = =*=■«.

le signe -+- correspondant au cas où le point M' est à gauche, le point M" à droite du vecteur AB ; le signe — correspond à l'autre cas.

Il suit de là que si par un point C d'un lien fermé (T), point dont on suppose qu'il n'est obtenu que pour une seule valeur du paramètre, on peut mener une droite que le lien traverse, on peut trouver sur cette droite, aussi près qu'on veut du point C, des points non situés sur le lien et dont les ordres diffèrent d'une unité : il est par conséquent impossible de relier ces points, par un lien qui n'ait aucun point commun avec (T). Dans le cas où le lien fermé (T) est simple et où l'on peut mener par chacun de ses points, sauf peut-être pour un nombre fini de points, des droites qu'il traverse, on voit qu'aux environs de chacun des points du lien se trouvent des points, non situés sur lui, dont les ordres relatifs au lien diffèrent d'une unité.

Lorsqu'il s'agit d'un lien fermé simple (T), l'ordre d'un point non situé sur le lien (T) par rapport à ce lien ne dépend pas de l'origine 'confondue avec l'extrémité) du lien, mais seulement du sens de parcours. Si l'on définit ce sens de parcours, comme on l'a expliqué au n° 290, en choisissant sur (T) deux points distincts A, B et l'un des liens partiels AB ainsi déterminés, lien partiel qui devra être parcouru de A vers B, tandis que l'autre BA est parcouru de B vers A, on reconnaît tout de suite, en supposant par exemple que le sens de parcours ainsi choisi corresponde aux valeurs croissantes du paramètre, que l'ordre, multiplié par 271:, d'un point M non situé sur (T) est égal à la somme des deux angles (MA, MB), (MB, MA) définis, le premier par le lien partiel AB, le second par l'autre lien partiel BA. Il est clair, par là même, que le nombre trouvé ne dépend pas des deux points A, B, pourvu que le sens de parcours reste le même, et que ce nombre change de signe, sans changer de valeur absolue, si l'on change le sens du parcours.

297. — Considérons deux points distincts A, B et trois liens simples (P), (Q), R, dont chacun relie le point A au point B et tels que deux d'entre eux n'aient pas de point commun, en dehors des points A et B; deux de ces liens constituent un lien fermé simple ; on forme ainsi trois liens fermés simples, que je désignerai respectivement par Q, R ', R, P , P, Q .

Soit I un point quelconque, n'appartenant à aucun des liens (P), Q , (R). Si l'on choisit sur les liens fermés Q, R , 1\, P),