III. — CONTIMJUMS. PROPOSITIONS D'ANALYSIS SITUS

298. — Il importe d'avoir pour les systèmes de deux variables x, y une notion qui tienne le même rôle que la notion d'intervalle pour une seule variable.

Une telle notion, trop particulière à la vérité, mais dont on a déjà vu l'utilité est celle de l'ensemble parfait formé par les points qui appartiennent à un rectangle ; R) ; les propositions du n° 284 s'appliquent immédiatement et l'on conçoit ce qu'est une fonction déterminée dans ce rectangle en tous les points qui appartiennent à ce rectangle), une fonction continue dans ce rectangle, comment une telle fonction atteint sa borne supérieure et sa borne inférieure pour des points appartenant à ce rectangle ^situés à l'intérieur ou sur le contour), comment on peut subdiviser ce rectangle (R) en rectangles partiels assez petits pour que, dans chacun d'eux, l'écart de la fonction soit moindre que tel nombre qu'on voudra, etc.. Au lieu d'un rectangle on peut considérer un cercle ou plutôt l'ensemble des points qui appartiennent à un cercle : c'est encore un ensemble parfait. Au lieu du cercle on pourra prendre une ellipse, ou plus généralement, une de ces courbes que l'on sait définir analytiquement, ainsi que leur intérieur et leur extérieur.

En opposition avec ces notions particulières, il convient de si-

l84 INTRODUCTION A LA THEOMG J)ES FONCTIONS

gnaler une notion très générale, qui est due à Weierstrass, celle de continuum.

Un continuum est un ensemble (C) de points qui satisfait aux conditions suivantes :

i° A chaque point A de l'ensemble (C) correspond un nombre positif a tel que tous les points de (C) qui sont à une distance de A égale ou inférieure à a appartiennent à (G;. En d'autres termes chaque point de (G) est le centre d'un cercle (ou d'un carré), tel que tous les points qui appartiennent au cercle (ou au carré) appartiennent à (C). Aucun point de l'ensemble (C) n'est isolé.

2° Deux points quelconques A et B de l'ensemble peuvent être reliés par un lien (T) donc tous les points appartiennent à l'ensemble. On dit d'un tel lien qu'il est intérieur à (G).

Si l'ensemble (G) satisfait à ces deux conditions (s'il est un continuum), on verra plus tard que le lien (T) peut toujours être constitué par une ligne brisée.

A cause de la condition i°, un point frontière du continuum (G) ne peut appartenir à ce continuum : un continuum n'est pas un ensemble clos. Un continuum ne contenant pas de point isolé, sa frontière est formée de points d'accumulation du continuum, qui n'appartiennent pas à ce continuum. Un point P est un point frontière de (C) lorsque tout cercle décrit de P comme centre contient des points de (G) et des points qui n'appartiennent pas à (G), ne fut-ce que le seul point P ou d'autres points frontières. Si la frontière est bornée, si en particulier le continuum est borné, cette frontière est un ensemble clos (n° 287), ou fini.

Voici quelques exemples de continuums.

Le plan est un continuum sans frontière. On verra tout à l'heure que c'est le seul continuum sans frontière.

Le plan, à l'exclusion de certains points A, B, C, ... en nombre fini, est un continuum dont la frontière est formée par ces points. Le plan, à l'exclusion des points d'un segment AB, est un continuum dont AB constitue la frontière.

L'ensemble de points intérieurs à un rectangle, ou à un triangle, ou à un trapèze, ou à un cercle, constitue un continuum dont la frontière est formée par le contour du rectangle, ou du triangle, ou du trapèze, ou par la circonférence du cercle. L'ensemble clos des points qui appartiennent à un rectangle ou à un cercle n'est pas