CHAPITRE IX. LANGAGE GEOMETRIQUE IoO

un continuum. L'ensemble des points extérieurs à un cercle est un continua m.

Si le cercle (A) est intérieur au cercle (B), l'ensemble des points extérieurs au cercle (A) et intérieurs au cercle B, est un continuum (C), dont la frontière est formée par les circonférences des cercles A) et (B). L'ensemble des points qui n'appartiennent ni à (G) ni à sa frontière n'est pas un continuum; il se compose de deux conlinuums, dont l'un est l'ensemble des points extérieurs à (A), dont l'autre est l'ensemble des points intérieurs à (B).

299. — ■ Revenons au cas général. Soit (C; un continuum et soient A0, A, l'origine et l'extrémité du lien T défini par les formules

Supposons que A0 appartienne au continuum (G) et que At ne lui appartienne pas. Il suffit de se reporter au n° 291 pour voir qu'il y a un nombre Q plus grand que l0 et au plus égal à tlt tel que les points de (T) qui correspondent aux valeurs de / appartenant à l'intervalle (Z0, 0) soient tous des points du continuum (G),. à l'exception du point qui correspond à la valeur 6, lequel est un point frontière et, ainsi, n'appartient pas au continuum.

En particulier, tout vecteur A0 A, partant d'un point A0 du continuum et aboutissant à un point A, qui n'appartient pas à ce continuum contient un point de la frontière, nécessairement situé entre A0 et A1} sauf dans le cas où A, est un point frontière.

Les points qui appartiennent à un continuum (C) sont dits intérieurs à ce continuum ; un point est extérieur à ; C) s'il n'appartient ni à (C) ni à sa frontière. Un lien (T) est intérieur (ou extérieur) au continuum (G), si tous ses points sont intérieurs (ou extérieurs) à ce continuum.

L'ensemble des points extérieurs à un continuum (C), en supposant qu'il y ait de tels points, satisfait à la condition i°.

Soit en effet A un point extérieur au continuum ; la distance du point A à la frontière (F) de (G) est un nombre positif c?; le cercle décrit du point A comme centre avec un rayon r •< â ne contient aucun point de la frontière ni à son intérieur ni sur sa circonférence ; il ne contient non plus aucun point B du continuum, car

l86 INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

alors le vecteur AB contiendrait un point frontière. Mais, pour que l'ensemble des points extérieurs à un continuum soit lui-même un continuum, il faut que la condition 2° soit vérifiée.

Soit (C) un continuum et (F) sa frontière ; soit (C) l'ensemble des points extérieurs à (G) et (F') la frontière de cet ensemble. L'ensemble (F) contient l'ensemble (F') ; en effet un point de (F') ne peut appartenir à [Gj, puisque les points suffisamment voisins d'un point de (G') appartienneni tous à (C) ; un point de (F') ne peut non plus appartenir à ;C ; il appartient donc à (F). Mais tout point de (F) n'appartient pas nécessairement à (F') ; un point P de (F) n'appartient pas à ;F) lorsqu'un cercle de centre P et de rayon suffisamment petit ne contient aucun point extérieur à C) ; un tel cercle ne peut alors contenir que des points appartenant à (G) ou à (F).

Lorsqu'il existe de tels points P, on peut dire qu'ils appartiennent à l'ensemble F) — (F') ; en les adjoignant au continuum (C), on forme un ensemble (Cj) qui est encore un continuum ; en effet, on voit d'abord qu'il satisfait à la condition i° tant pour les points de C que pour les points P de l'ensemble (F) — (F'), puisque tous les points appartenant à un cercle de centre P et de rayon suffisamment petit sont des points de (Cj. D'ailleurs un •tel cercle, puisque P est un point frontière de (C), contient nécessairement un point de ( G , auquel P peut être relié par un vecteur dont tous les points appartiennent à (C,) ; enfin deux points de (G) peuvent être reliés par un lien intérieur à (G) et, par conséquent, à (Ci) : la condition 2° est aussi vérifiée. Les points extérieurs à (CJ sont les mêmes que les points extérieurs à (C) ; le continuum (CJ et l'ensemble (C) admettent F') comme frontière commune.

300. — On a signalé plus liaut des exemples de continuums très simples ; je vais montrer comment on peut constituer d'autres continuums en partant de conlinuums donnés.

Soient C et C' deux continuums, (F) et (F' leurs frontières respectives. Si les deux conlinuums ont un point commun A, il est clair que tous les points qui appartiennent à un cercle décrit de A comme centre avec un rayon moindre que les distances de A à (F) et à F sont aussi communs aux deux continuums G , G' >