CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES

tinue dans le domaine défini par l'inégalité |. as |"< a, où a est un nombre positif plus petit que i ; dans ce domaine, i+œne s'annule

pas; son argument principal, compris entre — -et-, s annule

quand as est réel; la différence lg(i -+- x) — f(x) est continue dans le domaine as < a; elle est un multiple entier de ira; c'est donc une constante et cette constante est nulle comme on le voit en supposant x compris entre o et i . La série f{x) n'est donc autre chose que la fonction lg(i -t- as), sous la condition | x | < a et, par conséquent, sous la condition | as | << i, puisque a peut être supposé aussi voisin de i qu'on voudra.

Supposons que la fonction log as soit définie, ainsi qu'on l'a expliqué plus haut, comme une fonction continue de as dans un domaine simple (D), qui ne contienne pas le point o. Soit aso un point intérieur au domaine; soit p un nombre positif inférieur à la distance du point as0 à la frontière de (D) et, par conséquent, à | as0 ]. Supposons que le point as = as0 -h h reste clans le cercle (G) défini par l'inégalité | h ) < p; la fonction log as — log- as0 sera continue dans ce cercle et s'annule pour as = as0; d'ailleurs sa valeur ne peut différer de la valeur de

l^=Ie(

que d'un multiple de 27ii; mais le second membre est une fonction continue de h tant que l'on a | h | < a; il s'annule pour h = o; on a donc, sous la condition | as — as0 | < p,

log x = log œ0 4- X-=^-° - {X~JoY' -h (-^?^ "■■•■

la fonction log as est régulière en tout point as intérieur au domaine

l'D) et sa dérivée est - .

Supposons maintenant que l'on définisse la fonction log as comme une fonction continue le long d'un lien (ï), qui ne passe pas par le point o, et dont chaque point soit déterminé par un paramètre réel /, appartenant à l'intervalle (tQ, /,). Le lien peut traverser la coupure, mais je suppose que son origine et son extrémité ne soient pas sur la coupure. Pour l'origine as0, qui correspond à la valeur t0 du paramètre, on aura

log x0 = lg x0 + 2 n-i

n élant un certain nombre entier. Si le lien (T) n'a aucun point commun avec la coupure, on aura tout le long du lien,

log x = lg' x -+- 2 uni,

le nombre n restant toujours le même.

Si, en particulier le lien (ï) est fermé et s'il n'a aucun point commun avec la coupure, on revient au point de départ avec la même détermination. Cette dernière conclusion subsiste si le lien (T) est la frontière d'un domaine simple auquel n'appartient pas le point o.

Supposons maintenant que le point ce soit sur la coupure, pour t = Q mais non lorsque l'on a /0 < / << Q; pour les valeurs de t

qui appartiennent à l'intervalle (tQ, Q), on aura toujours log ce = lg x H- inni, n étant le même que pour / — t0. Si maintenant le lien traverse la coupure pour / = Q, on aura, pour les valeurs de / un peu plus grandes que 0,

log x = ]g x -\- 2 (n ~b ï) ixi

en prenant, dans le second membre, le signe -\- ou le signe — suivant que l'on traverse la coupure de bas en haut ou de haut en bas; t continuant à croître, le coefficient de 27:/ restera le même dans le second membre tant qu'on n'aura pas atteint la coupure à nouveau.

En supposant toujours que le point i, qui correspond à t = B soit sur l'axe réel négatif, si pour les valeurs de t un peu plus grandes que 6 le point ce restait du même côté de cet axe que pour les valeurs plus petites que 0, on aurait log x = lg x -+- 1 nr.l pour les valeurs un peu plus grandes que 0, comme pour les valeurs plus petites et le point | devrait èlre regardé comme appartenant au bord