CHAPITRE XI. FONCTIONS DE VARIABLES IMAGINAIRES

27i ; en d'autres termes, l'argument de ex — j0 s'accroît de iiz. Il résulte de là (n° 359 j que l'équation er — y0 = o admet une racine et une seule à l'intérieur du rectangle. On en conclut en supposant que les côtés AA', BB' s'éloignent indéfiniment, que si y0 est un nombre quelconque non négatif ou nul, l'équation ex = j0 admet une racine et une seule représentée, dans le plan des x par un point intérieur à la bande formée par les deux parallèles (Pj, fPj); sans doute, on connaissait déjà ce résultat, qui est la chose essentielle pour la définition de lgy0 ; mais il y a intérêt à montrer comment il résulte immédiatement de la seule considération de l'image du rectangle ABB'A'.

368. — On vient de définir la fonction lg x, le logarithme principal de x. Définissons maintenant toutes les valeurs du logarithme de x et la fonction log x dans sa généralité.

Le nombre z sera, par définition, une valeur du logarithme du nombre x si l'on a ez = x.

Soient r et Q la valeur absolue et l'argument de x, en sorte que l'on ait x = 7- (cos 6 H- i sin 6> ; cherchons à déterminer deux nombres réels ç, rt tels que l'on ait

eÇ + T,t x ,. J-cos Q | l gJn 0^ .

le premier membre est égal à <r (cos rt H- i sin yj) ; sa valeur absolue est égale à eç, son argument à Y] ; pour qu'il y ait égalité avec r (cos 6 -h i sin 0), il faut et il suffit que l'on ait

e* = r, t) = 6 -f- 2 hti,

n étant un entier quelconque. Pour x = o, le problème n'a pas de solution ; pour x ;z£ o, il y a une infinité de logarithmes de x, donnés par la formule lg r + (Q -h- iim) i; la partie réelle du logarithme de x est le logarithme naturel de la valeur absolue de x\ le coefficient de i est l'un quelconque des arguments de x; la valeur principale du logarithme, définie plus haut, répond à l'argument principal de x; elle est définie si x n'est pas négatif.

Il ne sera pas inutile de faire remarquer en passant que, puisqu'on peut prendre l'entier n aussi grand qu'on veut en valeur absolue, il y a des nombres ez égaux au nombre donné non nul x et pour lesquels | z \ dépasse tel nombre positif que l'on voudra.

On voit combien, en quelque sorte, ez est indéterminé quand z augmente indéfiniment; on se rappellera toutefois que ez tend vers o quand la partie réelle de z tend vers — ce .

Les fonctions ex, log x étant définies, on peut, lorsque a n'est pas nul, regarder ah comme égal à la valeur de la fonction ex pour x — b log à ; cette valeur est déterminée quand on a fixé la détermination du logarithme. Ainsi, la fonction (i + x)"1 du n° 364 peut être définie, quel que soit m, par l'égalité

,m log(i+.r)

Pour la définition générale de la fonction log x, on pourra procéder comme aux nos 337, 338 : d'abord on pourra convenir de prendre le coefficient de i toujours égal à l'argument de x; là où l'argument de x est défini, la fonction log x, dont la partie réelle est log [ x |, sera alors définie sans ambiguïté. Par exemple sur un lien qui ne passe pas le point o, dans un domaine simple qui ne contient pas ce point, l'argument est défini par continuité, du moment que l'on a choisi sa valeur en un point du lien ou du domaine ; il en sera de même de la fonction log a;, qui sera une fonction continue de x, pour le lien ou pour le domaine; toute autre fonction continue dans les mêmes ensembles, dont la valeur est toujours l'un des logarithmes du nombre x, s'obtiendra en ajoutant à celle-là un multiple de 2Tti.

369. — Lorsque x est réel et moindre que i en valeur absolue, on a

iog(i+ao = ?-Y + T----;

le second membre, que je désignerai par f(x), a un sens tant que l'on a | x | <i i. Si, en outre, x est réel, on a

e/(') = i -\-JS-l | U V Jl + ï># r +

En se reportant au théorème III du n° 349, on voit tout de suite que les conditions requises pour l'application de ce théorème sont vérifiées,et que l'identité précédente en x est vraie tant que l'on a | x I <C t ; il en résulte que, sous cette condition, la valeur de/(x) est toujours l'un des logarithmes de i H- x; d'ailleurs la fonction /(x) est con-