Considérons la fonction

posons

x — b b — au

Ces formules établissent une correspondance entre les deux

variables x, u que l'on peut supposer représentées dans des plans

différents. Lorsque u croît de — oo à o,

lorsque le point u décrit l'axe réel négatif,

dans le plan des u, le point correspondant

x décrit le vecteur qui va du point a vers

le point b. Employons les notations A, B, X

pour désigner, dans le plan des x, les

points dont les affixes sont a, b, x. C'est

le vecteur AB qui, dans ce plan, jouera le rôle de coupure et que

l'on regardera comme ayant deux bords, un bord gauche rattaché

aux points du plan voisins de AB et à gauche, un bord droit

rattaché aux points du plan voisins de AB et à droite. La fonction

lg i — ^^ ) n'est définie, quand le point x est sur la coupure, que

si l'on dit sur quel bord il se trouve. Le lecteur reconnaîtra sans peine la vérité des affirmations qui suivent :

Si le point ce ou X n'est pas sur la coupure, on a

en désignant par (XA, XB) l'angle compris entre — tt et 4- û dont le premier côté est XA et le second XB : cet angle est positif ou négatif suivant que X est à gauche ou à droite de la direction AB.

36û INTRODUCTION A LA THEORIE DES FONCTIONS

Si le point X est sur le vecteur AB, entre A et B, on a , x — b , XB , .

1§^^â = l0SxA±7Zt'

en prenant le signe -h ou le signe — suivant que x est sur le bord gauche ou sur le bord droit. Quand le point x s'approche du point a ou du point b, la partie réelle augmente indéfiniment. On dit que la fonction est infinie pour ces points. Elle est réelle quand le point X est sur la droite AB, mais non entre A et B.

b — x En procédant de la même façon pour définir la fonction lg

on est amené à introduire deux: coupures indéfinies BB', AA' sur la droite qui passe par les points AB et que, pour pouvoir parler de la droite et de la gauche, nous regarderons comme ayant la direction qui va de A vers B. La partie réelle de la fonction précédente est

toujours lg — ^— - ; quant au coefficient de i, c'est l'angle XA,XC ;,

Fig. 43.

compris entre — n et n, dont le premier côté est XA et le second côté le prolongement XC de XB ; on pourrait prendre d'ailleurs tout aussi bien l'angle opposé par le sommet : cet angle est négatif quand le point X est à gauche de la droite, positif quand il est à droite; sur les bords gauches des coupures la partie imaginaire est — ni, elle est -4- ni sut- les bords droits; la fonction est réelle quant le point x est sur la droite, entre A et B. On a

1g lff — — = ± Ttl ,

° x — a ° x — a suivant que le point X est à gauche ou à droite de la direction AB.