V. APPLICATIONS

36. Théorème de Schoenflies . — La démonstration donnée précédemment du théorème de M. Jordan (voir nos 306 et 307 du texte et commencement de la présente note), nous apprend, non seulement qu'une courbe fermée sans point double divise le plan en une région extérieure et une région intérieure, mais aussi que l'ordre d'un point par rapport à la courbe est égal à o dans la première de ces régions, et à ± 1 dans la seconde.

Ceci sufQt, comme on va le voir, pour démontrer un important théorème de M. Schoenflies, qui s'énonce ainsi :

Soient

deux fonctions de x et de y, bien définies et continues à l'intérieur et sur la circonférence du cercle

Supposons que les égalités

fix> y) =/(*'. j')> 9 ix> y) — 9 ix'> y')

ne puissent être vérifiées simultanément dans le cercle en question sans que l'on ait x = x' , y = y'.

Soit C la courbe décrite par le point (X, \') lorsque (a;, y) décrit la circonférence du cercle.

Alors les équations (2/1) où X, Y seront considérés comme donnés, auront une solution (évidemment unique d'après l'hypothèse) toutes les fois que le point (X, \) sera pris à l'intérieur de C.

Ce théorème résulte immédiatement des propriétés de l'ordre et de l'indice établies dans ce qui précède.

En effet un point (X, Y) intérieur à G est caractérisé par ce fait que son ordre par rapport à C est égal à ± 1 .

Ceci revient à dire que l'indice du système {f(x, y) — X, g (x, y) — Y) a cette même valeur et est par conséquent différent de o.

Donc les équations (24) ont à l'intérieur du cercle (25), une solution commune. G. Q. F. D.

37. — Je vais maintenant me- servir, comme je l'avais annoncé, du théorème de Jordan dans l'espace à plus de deux dimensions. Je vais même supposer ce théorème démontré avec un complément qu'il est naturel de lui donner d'après les considérations qui précèdent. J'admettrai non seulement qu'une surface fermée sans point double divise toujours l'espace à n dimensions en une région extérieure et une région intérieure, mais encore que l'ordre de tout point intérieur est égal à ± 1 .

Dans ces conditions, le théorème de Schoenflies est démontré pour un nombre quelconque de variables.

Autrement dit, soit

i /i(œl> •••> xn) =Xn / ,i\ ' Jl\X\' •••' Xn) = X2,

\ Jn\'K\i •••» &n) A-n

un système de relations définissant les quantités X comme fonctions continues des x dans un certain volume v de l'espace à n dimensions : volume que je supposerais pour simplifier (quoique cette hypothèse ne soit pas essentielle), limité par une surface d'un seul tenant.

Supposons que, dans le volume en question, on ne puisse pas avoir simultanément

(26) fi(xn ..., x„) =fi{x[, ..., x'„) (i= 1, 2, ..., n)

si l'on n'a pas xt = xt , x2= x'„, ..., xn = x'„.

Soit alors S la surface (nécessairement fermée et sans point double) que décrit le point X lorsque le point x décrit la frontière s de v. Les équations (a4') auront une solution toutes les fois que le point X sera à l'intérieur de S.

NOTE SUR QUELQUES APPLICATIONS DE l'iîSDICE DE KRONECKER ^1

La démonstration donnée pour le cas de deux variables subsiste en effet sans modification une fois admises les propositions cidessus indiquées.

On peut même remarquer qu'elle suppose seulement, pour démontrer l'existence d'une solution au moins, l'impossibilité des relations (26) entre deux points distincts de la frontière S.

On voit par ce que nous venons de dire que le théorème de M. Schoenflies n'est pas distinct au fond de celui de M. Jordan.

38. — La portée de ce théorème est d'ailleurs très grande : elle apparaîtra si on le compare aux résultats classiques de la théorie des équations du premier degré.

Considérons un système d'équations linéaires dans lequel le nombre des inconnues est égal à celui des équations.

Quoiqu'un tel système admette en général une solution et une seule, il peut arriver qu'il soit impossible ou bien indéterminé.

Mais la condition pour que le système admette une solution, quelles que soient les valeurs attribuées aux seconds membres, n'est pas distincte de celle qui exprime qu'il ne peut en avoir plus d'une.

Le théorème de M. Schoenflies nous apprend que cette dernière condition entraîne encore la première, du moins clans une portion convenablement choisie de l'espace, lorsqu'au lieu d'équations linéaires on envisage des équations tout à lait générales de la forme (2"4').'

39. — La remarque suivante découle immédiatement du théorème de Schoenflies.

Supposons qu'entre deux volumes V, V de l'espace à 11 dimensions (limités chacun par une surface d'un seul tenant) existe une correspondance parfaite et continue. Je dis que s'il en est ainsi, aux points intérieurs à V correspondront des points intérieurs à V et aux points frontières de V, des points frontières de V.

Supposons en effet que le point P, intérieur à V, corresponde à un point P', situe sur la frontière S' de V. De son côté, s'il en est ainsi, la frontière S de V correspondra à une surface S' (fermée et sans point double) à laquelle P n'appartiendra pas. D'après le théorème de M. Jordan, S' délimite un volume V, tout entier inlé-

rieur à V, et auquel par conséquent P' est extérieur (l), de sorte que les points P, intérieurs à S, ne correspondraient à aucun point P' intérieur à S'.

11 y a donc contradiction avec le théorème de Schoenflies, et notre conclusion est démontrée.

40. — Les considérations précédentes permettent également de démontrer, pour le volume de la sphère, à un nombre quelconque de dimensions, le théorème de Brouwer.

Le volume de la sphère à n dimensions ayant pour centre l'origine et pour rayon l'unité, est l'ensemble Y des points qui vérifient l'inégalité

Le théorème que nous allons démontrer est le suivant : Toute transformation parfaite et continue du volume V en luimême laisss au moins un point invariant, soit à l'intérieur, soit sur la frontière.

Soient en effet, asl5 x2, ..., xn\ x[, x[2, ..., x'n les coordonnées de deux points correspondants. Considérons les n fonctions.

en supposant d'abord que le point (a?x, ..., xn) décrit la frontière de la sphère.

Si ces n fonctions s'annulent simultanément, le théorème est démontré. Sinon, le système de fonctions que nous venons d'écrire a même indice que le système (xlf ..., x„) car on a constamment (2)

ar1 (x1 — x\) + x, {xi — x[) + ... -\- xn (xn — x'„) > o.

(1) Le fait qu'un point P' de S' est nécessairement extérieur à toute surface S intérieure à V résulte de ce qu'on peut joindre P' à l'infini par un chemin continu n'ayant avec V" ou S' d'autre point commun que P' (ce qui, à son tour, doit être considéré comme faisant partie du théorème de Jordan).

(2) Celle inégalité est, en vertu de l'identité bien connue de Lagrange, une conséquence des équations

xj2 + x'I + ... + x* = x'I + ... + x'I = I.

NOTE SUR QUELQUES APPLICATIONS DE L'iNDICE DE KRONECKER 4y3

Comme ce dernier indice (c'est-à-dire l'ordre du centre par rapport à la surface de notre sphère) est différent de o, il existe forcément un point intérieur où les fonctions (28) sont simultanément nulles.

41. — Notons encore que la considération de l'indice permet de généraliser à une transformation biunivoque et continue quelconque une notion classique relative au sens des aires.

Lorsque dans les équations (24') les f ont des dérivées, on sait que la transformation conserve le sens des aires si son déterminant fonctionnel est positif et le change si ce déterminant est négatif.

En nous bornant aux équations (24), soit dans le plan du point (x, y) une courbe fermée sans point double c limitant une aire s, les points intérieurs à s auront par rapport à c un ordre égal à -f- 1 ou à — - 1 .

A c correspond (si comme nous le supposons la correspondance définie parles équations (24) est parfaite et conlinuej une courbe fermée sans point double G limitant une aire S. Les points intérieurs à celle-ci auront, par rapport à C, l'ordre ± 1.

On peut dire qu'une courbe telle que c ou G est décrite dans le sens direct si l'ordre des points intérieurs par rapport à cette courbe est -+- 1 , et dans le sens rétrograde si cet ordre est égal à — 1 .

Or, la tranformation (24) peut conserver ou changer, suivant les cas, le sens ainsi défini. Mais cela ne dépend que de la transformation elle-même (du moment qu'elle est supposée parfaite) et non du choix de la courbe fermée particulière c.

Il suffit pour le voir de déformer cette dernière d'une manière continue.

Du cas du plan, on passe aisément à celui d'une surface bilatère orientée comme il a été expliqué plus haut.

42. — Je signalerai sommairement une autre série d'applications des mêmes principes (*).

(') \oir, à ce sujet, les Mémoires de M. Poincaré sur les courbes définies par les équations différentielles, Journ. de Math , 3e série, t. VII, VIII ; 4e s- t. I ; ceux de M. Dyck dans les Berichle der Gcsellsch. der Wlss. eu Leipzig, t. 87 (i835), p. 3 1 4 ", t- 38 (1886), p. 53 et plusieurs récents travaux, de M. Brouwer, insérés dans les Procès-verbaux de l'Académie royale des Sciences d'Amsterdam.

Considérons une variété V, fermée et m fois étendue de l'espace à n dimensions (n >• m) ; cette variété sera supposée admettre en chacun de ses points un plan tangent déterminé, variant continûment avec la position du point.

Le cas le plus simple, et que nous aurons surtout en vue pour fixer les idées, est celui de la surface d'une sphère dans l'espace ordinaire.

Imaginons, sur V, une distribution vectorielle tangente : c'est-àdire faisons correspondre à chaque point de V un vecteur tangent à V en ce point. Les composantes de ce vecteur seront supposées varier continûment, mais n'admettront pas nécessairement de dérivées partielles par rapport aux coordonnées de son origine.

Il interviendra d'ailleurs, surtout par sa direction : il est essentiel de remarquer que celle-ci sera indéterminée quand le vecteur sera nul et alors seulement.

Les paramètres directeurs pourront être considérés comme proportionnels à un système de différentielles dxi,... dxn des x, lesquelles correspondront (dans chaque élément) à des différentielles déterminées dm ... dum des paramètres u (en supposant, comme cela est légitime d'après l'hypothèse faite sur V, que les assoient dérivables par rapport aux u.

Ces différentielles diii, dum, ou encore d'autres quantités (finies) Xi,... Xm qui leur soient proportionnelles avec un facteur de proportionnalité positif, pourront être regardées, à leur tour, comme définissant une direction de vecteur dans l'espace lieu du point paramétrique. Cette direction du vecteur ne sera indéterminée que si la première l'est. Nous admettrons que cela n'a lieu qu'en un nombre fini de points, et nous supposerons la décomposition de V en éléments faite de manière que ces points ne soient sur aucune face.

Dans ces conditions, sur la frontière de chaque élément, le système (Xi,... Xm) correspondant admettra un indice déterminé. Considérons la somme <7 de tous ces indices.

On démontre (') qu'elle ne dépend ni de la représentation paramétrique adoptée pour V, ni du choix de la distribution tangente.

Lorsque le nombre m est impair, la somme en question est

(') Voir les travaux cites ci-dessus.

NOTE SUR QUELQUES APPLICATIONS DE L'iNDICE DE KRONECKER fl'jb

nulle; car, d'après ce que nous venons de voir, elle ne devrait pas changer par le changement de signes simultanés de tous les X, lequel la multiplie, comme nous l'avons vu, par ( — i)"\

Il en est autrement pour les valeurs paires de m. L'entier a est alors une des quantités qui caractérisent V au point de vue de de Yanalysis situs : il a la même valeur pour deux variétés homeomorphes quelconques, même situées clans des espaces dont les nombres de dimensions diffèrent.

Pour avoir une valeur de a différente de o, il suffit de prendre pour V la surface d'une sphère dans l'espace à trois (ou plus généralement à ip -h i) dimensions. Pour la sphère dans l'espace ordinaire, on peut, par exemple, prendre pour direction tangente celle de la tangente au méridien supposé parcouru vers un pôle déterminé. Une telle distribution est indéterminée aux deux pôles ; dans le tétraédroïde (ici dans le triangle) entourant l'un d'eux, on peut prendre pour paramètres les coordonnées rectilignes du point projeté sur l'équateur et on trouve ainsi pour la somme des indices

(29) cr = 2.

43. — Du fait que l'entier G est différent de zéro résulte immédiatement une conséquence bien remarquable.

77 est impossible de faire correspondre à chaque point de V une direction tangente à V en ce point, sans que cette direction soit indéterminée en un point au moins de V.

Car alors l'indice relatif à chaque élément serait nul comme nous l'avons démontré au n° 33.

Une telle impossibilité aura lieu par conséquent sur la surface de la sphère dans l'espace ordinaire.

44. — On peut déduire de là le théorème de Brouwer sur cette surface. Ce théorème est d'ailleurs, clans ce cas, limité aux transformations qui conservent le sens d'orientation (n° 41). Il s'énonce donc ainsi :

Toute transformation parfaite et continue de la surface d'une sphère, si elle conserve les sens d'orientation, laisse invariant un point au moins.

Pour le démontrer ('), soient M un point quelconque de la surface; M', son homologue; A, un point fixe. Nous prendrons pour direction tangente en M la tangente au cercle MM'A | plus exactement, à celui des deux arcs, déterminés sur ce cercle par les points A et M, qui contient le point M'. Une telle direction ne devient indéterminée que dans les trois cas suivants :

Si M coïncide avec A ; Si M' coïncide avec A ; Si M coïncide avec M'.

Chacune des deux premières circonstances est réalisée une fois et une seule. Considérons d'abord un élément de sphère entourant le point A. Si l'homologue A' du point A coïncide avec A, le théorème est démontré. Sinon le cercle AMM' sera (pour M voisin de A) très voisin du cercle AMA'. D'où résulte qu'il ne sera à aucun moment très petit. Comme AM est au contraire un petit arc, il fera en M un angle très petit avec le grand cercle AM. Les tangentes à ces deux arcs auront, dans ces conditions, même rotation totale lorsque M tournera autour de A. Il résulte de là que l'indice de la direction variable dont il s'agit le long de l'élément qui contient A est égal à -+- 1.

Si au contraire c'est le point M' qui coïncide avec A, le point M vient en un point B, distinct de A (sans quoi le théorème serait démontré).

Lorsque M tourne autour de B, M' tourne autour de À, et cela clans le même sens, en vertu de l'hypothèse faite sur notre transformation. Le cercle AM'M est d'ailleurs très voisin du cercle AM'B. Or la tangente en B ou en M à ce dernier a un sens de rotation inverse de celui de la tangente en A (ces deux droites étant symétriques l'une de l'autre par rapport au plan perpendiculaire au milieu de AB), c'est-à-dire inverse de celui de la rotation de M' autour de B.

Donc l'indice, le long d'un petit élément entourant le point B, est égal à — 1, et donne avec le premier une somme nulle.

Comme, au contraire, la somme totale est différente de o, la

[*) Méthode Je démonstration communiquée par M. Brouwur.

NOTE SUR QUELQUES APPLICATIONS DE L'iNDICE DE KRONECKER ^77

troisième hypothèse doit être, elle aussi, vérifiée en un point au moins de la surface.

Quant aux transformations qui changent l'orientation, elles peuvent ne point admettre de point invariant : tel est le cas de celle qui substitue à chaque point de la surface le point diamétralement opposé.