I -h fi. ' I H- u, ' '"' I + fi

/l — ^1 /a — ,'*gg fn^Z±9l

1 H- fi ' I -+- ja I -+- fi.

où p. est un paramètre positif.

Si le système de relations (22) n'est vérifié en aucun point de S, le système de fondions (23) a un indice pour toute valeur positive de u. et, d'après un raisonnement déjà présenté antérieurement, cet indice est constant quel que soit a. En faisant successivement |UL = o, 4- 00 , on voit que (,/, f%, ..., fn) a même indice que (gi,g2,...,gn).

Si, d'autre part, les relations (22') ne sont vérifiées simultanément en aucun point de S, c'est l'indice du système (23') qui restera constant pour toute valeur de il, de sorte que fltfi} ■■■, fn, donneront le même indice que — gv, — r/2, ..., — <jn. Il en résulte (comme on le voit à l'inspection de la formule (1 1)), que les indices de fi} f2, ...,fn et de gu g.2, ..., g,t, sont entre eux dans le rapport ( — i)n.

Le théorème est donc démontré.

(*) Poincaré. — Journ. de Malh., « Sur les courbes définies par les équations différentielles », lie série, t. II, p. 177 (1886).

(2) Bohl. — Journ. fur Malh., t. 127, 190/1. — Les énoncés donnés par les deux auteurs cités diffèrent entre eux et de celui du texte en ce qu ils particularisent (chacun, d'une manière différente) le choix des fonctions ;/. Mais leurs raisonnements (qui sont d'ailleurs également différents) s'étendent d'eux-mêmes au cas où ces fonctions sont prises arbitrairement. La démonstration que nous donnons ici est celle de M. Poincaré.

NOTE SUR QUELQUES APPLICATIONS DE l'iNDICE DE KRONECKER 4Gg

Si les deux indices considérés ne sont pas égaux en valeur absolue, il résulte des relations (22), (22') que la quantité

ne peut pas être de signe constant sur S.