CHAPITRE VIII. SUR QUELQUES DEVELOPPEMENTS E>" SERIE

cette forme montre tout d'abord que la valeur absolue de cette intégrale diminuerait si l'on remplaçait r par l'un quelconque des nombres r H- i, 7' -+- 2, ..., j — 1 ; en effet les limites de l'intégrale resteraient les mêmss et la quantité (r 1 j sera remplacée par une quantité au plus égale à fi et par suite a - ; ainsi à

partir de la deuxième intégrale, les signes vont en alternant, et les valeurs absolues vont en diminuant ; cette conclusion s'étend même, puisque m (fi — jn) est inférieur à tï, à la dernière intégrale dont la valeur est

u J ' sin s

m sin

ainsi (n° 137) la somme des intégrales qui suivent la première est du signe de (■ — i)'+' et est, en valeur absolue, inférieure à

sin ÇdÇ rTC sin Çc?Ç

L m mj

0 m sin I (i + i) - J ° m sin —

quant à la première intégrale, elle est du signe de ( — 1/ et sa

valeur absolue est égale à

sin ÇrfC

m (a— m) m sin ( i J. + Jl \ m m

quantité qui, puisque la limite inférieure m (a. — in) est positive et inférieure à tu, est elle-même au plus égale au second membre de l'inégalité précédente.

La valeur de ce second membre est donc supérieure à la valeur de l'intégrale proposée ; mais on a, pour les valeurs de 'Ç comprises entre zéro et -r,

• t • , m sin — 21 sin Ç, m —

l'égalité n'ayant lieu que pour m = 1 ; en effet, pour ces valeurs de 'C la dérivée cos cos C de la fonction m sin — — sin C est

positive ; cette dernière fonction est donc croissante, et par conséquent positive, dans l'intervalle (o, s). On a donc

('* sin ÇrfÇ f* sin Ç ,y / ~TT < n sin" Ç C'

le second membre de cette inégalité est égal à tt : la proposition

annoncée est démontrée.

L'intégrale

C 2 sin mz , - . dz,

Jo sm z

est égale à -, ainsi qu'il résulte de l'identité, déjà utilisée dans le précédent numéro,

sin mz , ' %

— . — I -h 2 COS Z + 2 COS K + ... + 2 cos (m — l)Z.

sin 2

269. — Ces remarques préliminaires faites, je suivrai, pour a <?(z) e,\

l'étude de l'intégrale

-'- sin mzdz sin z

la méthode que l'on doit à Ossian Bonnet. Le premier point consiste à établir que l'on a

lim. /■?(«)• j