CHAPITRE VIII. SUP. QUELQUES DEVELOPPEMENTS EN SERIE IIQ

L'intégrale qui figure dans le second membre a sa limite inférieure négative et sa limite supérieure positive, puisque x est supposé compris entre — % e$ H- % ; elle peut être remplacée par la somme de deux autres intégrales, portant sur la même quantité et

ayant pour limites, la première — — — et o, la seconde o et ;

en faisant dans la première la substitution z = — C et remettant ensuite la lettre z à la place de Ç, on trouve finalement

J v sin z

C 2 ti \ sm (2n -+- i)z j

H- f[x + 2: v-.— — '— dz.

JQ J 5ID z

Les limites supérieures -• : des deux intégrales qui figurent dans le second membre sont comprises entre o et ~ et peuvent atteindre l'une ou l'autre de ces limites.

Cette formule montre que le problème posé revient au suivant : Reconnaître si l'intégrale

, . sin mz ,

o(z) -. dz,

■ w sin z

où a est un nombre positif fixe au plus égal ù -, où ç c est une fonction bornée dans l'intervalle (o, a), tend vers une limite lorsque m augmente indéfiniment par valeurs positives impaires ; c'est le problème que je vais traiter, sous certaines conditions imposées à la fonction <d(z).

268. — Je ferai d'abord deux remarques préliminaires concernant l'intégrale

l ' sin mz , h sin z

où a, /3 sont des nombres appartenant à l'intervalle (o, -j et où m

désigne, comme je le supposerai dans ce numéro et le suivant, un nombre naturel impair.

Je montrerai d'abord que la valeur absolue de cette intégrale, quels que soient les nombres a, fi, m, assujettis toutefois aux conditions précédemment énoncées, est toujours inférieure à un nombre fixe, que l'on peut prendre égal à tc. Supposons a << |3. Lorsque z varie de a à /3, la fonction sin z reste positive et croissante. Quant à la fonction sin mz, elle est, en général, tantôt positive, tantôt négative : décomposons l'intervalle (a, ]3) en intervalles partiels tels que, dans chacun d'eux, sin mz garde le même signe ; si

■,,-,,. . • -, . ., -, ■ , am 3 m

1 on désigne par i et j les parties entières des quantités — » — »

ces intervalles partiels seront bornés par les nombres

a, (i -h i) -, (( H- 2) — , ..., (/ — 1) - , 7 — , fi ;

l'intégrale proposée peut être remplacée parla somme dej — i-h 1 intégrales ( ') dans lesquelles le signe / porte toujours sur la même expression

sin mz ,

sin s '

et qui se rapportent aux intervalles partiels définis par la suite précédente ; dans le premier intervalle, sin mz a le signe de ( — i)', puis les signes vont en alternant ; l'une quelconque des intégrales intermédiaires peut être représentée par

Tï

v ' )m sin mz , , . . ,

. dz, r = i+i, i + 2, .... 7 — 1).

r"x sin z v ' J ' m

Si, dans celte intégrale, on fait la substitution

elle devient

(-■)-f sinC

~° m sin r ■)

(') Ce mode de décomposition joue le rùle essentiel dans la démonstration de Dirichlet.