CHAPITRE VIII. SUR QUELQUES DEVELOPPEMENTS EN SERIE
appartiennent tous deux soit à l'intervalle (o, -), soit à l'intervalle f -, tc j. Si, en effet, ces conditions n'étaient pas vérifiées pour
l'intervalle (6, c), on subdiviserait cet intervalle en intervalles partiels pour lesquels les conditions seraient vérifiées : la proposition établie pour chacun des intervalles partiels s'étend évidemment à l'intervalle total.
Supposons d'abord que l'on aito<<6<Ccf^-et que la fonction 'f(z), dans l'intervalle (6, c), soit non-croissante et ne soit ja-
mais négative. Il en sera de même de la fonction
; on pourra
donc appliquer le second théorème de la moyenne et écrire, en désignant par ç un nombre appartenant à l'intervalle (b, c),
. - - sin mz sin z
sin b Jb
= — v — . — r-1 icos mb m sin b -
dz
cos m-
et, par suite,
sin mzdz
m sin 6
dans ce cas, la proposition énoncée est établie. L'inégalité précédente s'applique en particulier dans le cas où l'on a <p(z) = i, et l'on en conclut
(sin mz siaz
— m sin b
Conservons les autres suppositions, mais n'astreignons plus la fonction <p [z) à ne jamais être négative. Dans l'intervalle (6, c) la fonction <p(Y) — <p(c) sera, comme (û(z), non-croissante, et, de plus, ne sera jamais négative, on pourra donc lui appliquer l'iné-
galité (i) et écrire
sin mzdz
sin mzdz — o(c sinz -v- ij
rfz
2 <p (6 -f- o) ■ — 2 o (c) m sin 6
on déduit de là, en tenant compte de l'inégalité (i)
-T-— sin mz dz
sin z
olc)
m sin b
et, a fortiori, en désignant par L la borne supérieure de la fonction | <p(z) | dans l'intervalle (6, c), ou un nombre plus grand,
izdz
6L m sin b
Observons que si l'inégalité (i) est vérifiée, il en est certainement de même de l'inégalité (3), dont on peut donc affirmer
qu'elle est vraie pourvu que l'on ait o ■< b << c < - et que la
l'onction <p(z) soit non-croissante dans l'intervalle (b, c). Si, au lieu d'être non-croissante, <ù(z) était non-décroissante, la fonction — (d(z) serait non-croissante ; il n'y aurait qu à lui appliquer l'inégalité (3), pour reconnaître que, dans ce cas encore, cette inégalité subsiste.
TE
Enfin si l'on avait - <| b <. c <. 7i et, si dans l'intervalle (6, c)
la fonction © (z) était soit non-croissante, soit non-décroissante, on appliquerait l'inégalité (3) à la fonction <p (n — z) en remplaçant 6 et c par tc — c et tt — b ; on aurait alors
sin mzdz
d'où l'on conclut, en changeant z en tc
m sin c
c dans l'intégrale,
j& sm z
izdz
La proposition énoncée est évidemment établie. Il me sera commode d'avoir fait les remarques suivantes.
Supposons seulement sur les nombres b, c qu'ils sont intérieurs à l'intervalle (o, 7i) ; désignons par X le plus petit des quatre nombres positifs b, c, 71 — b, n — c. Ne supposons plus que la fonction cp(z) soit toujours non-croissante ou toujours non-décroissante dans l'intervalle (b, c), mais que cet intervalle puisse être
