CHAPITRE VIII. SUR QUELQUES DEVELOPPEMENTS E!\ SERIE
décomposé en p intervalles partiels où (ù(z) satisfasse à la condition précédente. Si l'un de ces intervalles partiels contient à son
intérieur le nombre 7 , on le décomposera en deux intervalles partiels ayant - pour borne commune ; on aura ainsi p H- 1 intervalles partiels, auxquels s'appliqueront, soit l'inégalité (3) soit l'inégalité (4), en y remplaçant b et c par les bornes de l'intervalle partiel. Dans tous les cas la valeur absolue de l'intégrale partielle correspondante sera au plus égale à
en désignant par L la borne supérieure de | <d(z) | dans l'intervalle total (6, c). On aura donc, sous les conditions imposées
-.-— sin mz ai sin z
6(p+ i)L m sin X
Nous sommes maintenant en mesure de montrer que l'intégrale
Jo Slrl Z
a une limite pour m infini et d'évaluer cette limite en supposant toujours que l'on ait
o <C b << TT,
crue, dans l'intervalle (o, b) la fonction (p (z) reste inférieure ou égale, en valeur absolue, à un nombre positif fixe hf et enfin que l'on puisse partager l'intervalle (o, 6) en un nombre fini p d'intervalles partiels tels que dans cbacun d'eux la fonction © (z) soit, ou bien non-croissante ou bien non-décroissante.
Soit en effet s un nombre positif arbitraire. D'après les conditions imposées à la fonction <p (z), il est clair que ;;ette fonction tend vers une limite lorsque z tend vers o par valeurs positives ; désignons cette limite par <p (-+- o) ; au nombre s correspondra un nombre positif yj, tel que, sous les conditions
on ait
Ceci posé, désignons par fi un nombre positif moindre que y], b, n — 6, et tel que dans l'intervalle (o, fi) la fonction <p (2) soit ou bien non-croissante ou bien non-décroissante.
On aura
J, > sin mz , C , \ sin '"2 , / , N sin mz , •a (z) — . dz = cp (2) — . è+ o (2) -. dz.
0 ' sin z JQ ■ sm z Jp ' sin z
La seconde intégrale du second membre peut se représenter par
y 6 (p -h 1) L 2 m sin p
en désignant par 0' un nombre compris entre — 1 et 4- .1. Quant à la première intégrale du second membre, on peut lui appliquer le second théorème delà moyenne, et la remplacer par l'expression
, . / ' sin mz , ,, . / ' sin mz ,
9 (+ o) — dz 4- o (B — o) — . dz
' v ; I sm z ■ v ; Je sm z
, . rPsin mz , x ta \ / , m C sm mz j
= œ (4- o) —. dz 4- [<p (P — o) — o (4- o )] -. dzT
' v ; / sin z L u ' v n )' sin z
où £ désigne un nombre compris entre o et fi ; en remplaçant dans le second membre de cette dernière égalité la première intégrale par
Tt 26
2 m sin p
et en se rappelant que la seconde est, en valeur absolue, au plus égale à ir, on voit qu'on peut écrire finalement
J o Sln
sin mz , 7t , . „
(K = -? 4- o 4- Rm,
/ Rm — — .— - © 4- o 4- w . ; „ h e 6" je.
\ m sin [3 ^ ; 2 m sin p
6" étant, comme 5 et#', compris entre — 1 et 4- 1 ; on peut choisir d'aboid le nombre s, puis le nombre m, pour que Rm soit, en va-
