PROGRESSION ARITHMÉTIQUE
comme dans le théorème précédent. Généralement la formule du binôme, pour l'exposant entier, s'étend à un exposant quelconque.
12. Si en prenant pour point de départ la suite des nombres a, 6, b, b, 6, 6, 6, M..,
on opérait comme pour obtenir les nombres figurés, en partant de la suite
on formerait le tableau suivant:
«, b, by b,..., b,
a, a-hby a-\-iby a-h36,..., a-^{n — \)b,
a, 3a-\-b, 6a-*-46, loa -4- 106,..., — ^^ ^a-h —^ by
ourles sommations se ramènent à celles des nombres figurés.
La deuxième ligne est la progression arithmétique dont le premier terme est a et la raison b,
La troisième ligne donnerait pour a = i les nombres polygones.
L'équation
donne les solutions de divers problèmes et les démonstrations de divers théorèmes.
Pour a = 1 , 6 = 2, on a
cette équation fournit un moyen facile de former les carrés consécutifs.
Si dans la même hypothèse de 6 = 2, qui change le second membre en
on voulait trouver pour somme le cube nS il faudrait poser
a-f-n — i = nS
ce qui détermine le premier terme a = /i^ — n h- i . Ainsi pour n= 7, si avec 7 nombres impairs consécutifs on veut
former 7*^ 49* 7 = 343» il faut prendre pour premier terme
en effet.
. Pour les questions dece genre, qui ne présentent aucune difficulté, on peut consulter une article de M. Wheatstone; le résumé se trouve dans le tome V du Cosmos.
Nombres polygones.
15. Si dans le terme général de la troisième ligne du tableau (c) on fait a = i,on aura
ou bien encore
c'est là le nombre polygonal de 6 -f- a côtés égaux à n; il est formé
mbres triai
de b nombres triangulaires, l'un égal à ^' ou de côté n, et 6 — i
égaux a
OU de côté n — i.
Pour 6 = 1 , 2, 3, 4, • . . , on a les nombres triangulaires, carrés, pentagone, hexagone', etc., représentés par les figures suivantes :
Ces figures montrent la double décomposition en triangles et en termes consécutifs de la progression d'où l'on lire les nombres polygones.
PES NOMMIES FOLYGONVS. 2*]
On trouve > dans les Notes de Fermât sur le commentaire des Livres arithmétiques de Diophante ip^r Bachet, cette remarque intéressante, à la suite d'une Note sur la décomposition des nombres en carrés:
Imo propositionem pulcherrimàm et maxime generalem nos primi deteximus. Nempe omnem numerum vel esse triatigulumj vel ex duobtis aut tribus triangulis compositum; esse quàdratum vel atit duobus aut tribus aut quator quadratis compositum; esse pentagonum aut ex duobus, tribus, quatuor aut quinque pentagonis compositum, et sic deinceps in infinitum in hexagonis, heptagonis et pofygonis quibuslibet enuntianda, videlicet pro numéro angulorum generali et mirabili; ejus autem demonstrationem quœ ex multis variis et abstrusissimis numerorum mysteriis derivatur hic apponere non licet, opus enim et librum integrum huic ope ri destinare decrevimus et arithmeticen hac in parte ultra veteres et notos terminos mirum in modum promovere,
La démonstration de Fermât n'est pas connue, Cauchy en a donné une très-remarquable en modifiant l'énoncé. La formule du polygone pour 71 = 1 se réduit à i quel que soit 6, pour /i=: o elle se réduit à zéro, bien que zéro ne résulte pas des sommations indiquées. En regardant o , i comme des polygones de 6 -t- 2 côtés, on peut dire avec Cauchy que tout nombre peut se décomposer en m nombres polygones de m côtes, qui, à l'exception de quatre, sont o ou I. Ce théorème est plus précis que celui de Fermât. On pourrait encore, comme le fait Legendre dans sa Théorie des nombres, modifier l'énoncé d'une autre manière.
Les nombres polygones, représentés par la formule
x + ^xl
ne sont qu'un cas particulier des nombres représentés par la formule
(a) a->rbx-\- cx\
Quand on met dans celte formule, à la place de x, des nombres en progression arithmétique, par exemple :
OU plus généralement
a, a-+-(3, aH-2J3, a-f-3-3,...,
on obtient une suite de nombres dont les différences premières forment une progression arithmétique ordinaire ou de premier ordre, et dont les différences secondes (différences des différences^) sont constantes. On dit que la formule (a) donne des nombres en progression arithmétique du second ordre.
