COMBINAISONS. !2T

Théorème. — La formule qui donne le nombre C .. <les combinai-*

,1 I tri, n

sons, avec répétition^ de m lettres n à n est

Remarque, — Quand le nombre m des lettres est inférieur à n, la répétition est forcée; quand m égale n ou surpasse n, le nombre C,^ „ s'étend aux combinaisons avec répétition et à celles sans répétition : c'est une conséquence de la manière dont on les forme et qui conduit immédiatement aux valeurs précédentes de C„,„ et C'„ „.

Démonstrations, — Soient les lettres a, fe, c, . . . , / au nombre de m. Pour former les combinaisons deux à deux sans répétition, on placera a devant b, c,, , ., l, ce qui donnera m — i combinaisons. En plaçant b devant c, rf, . . . , /, on en aura m — 2, et ainsi de suite, de sorte que Ton aura

Si les combinaisons étaient avec répétition, il faudrait placer a devant a, b, c,. . ., /, et ainsi de suite, de sorte qu'on aurait

^, , , m(/n-hi)

Passant des combinaisons deux à deux aux combinaisons trois à trois, on aura semblablement, en plaçant a devant les combinaisons deux à deux des m — i lettres 6, c, . . . , /, en plaçant b devant les combinaisons deux à deux des m — 2 lettres c, d,. . ., l, etc.,

___ ( m — 2 ) ( /Il — 1 ) (m — 3)(m — 2) , ' • 2

= TT^Tâ '

et de même

et ainsi de suite : c'est précisément la sommation des nombres figurés.

Théorème. — Le nombre des arrangements de m lettres n à n sans

répétition est égal à m [m — i)(m — 2)... (m — w-f-i).,. Par suite,

le nombre des combinaisons de m lettres n à n sans répétition est

■>.3 INTRODlflTIO^i A LA THÉORIE DKS .%03IBRES.

égal au nombi-e des arrangements de m lettres n à n divisé par le nombre de permutations de n lettres.

TiiÉORÈsiE. — Le nombre des arrangements de m lettres n à n avec répétition est égal au produit /// . m . . . X m = m".

Démotistration, — (]<»la snii (J<» co que les loUres a, 6, c,..., / élanl au nombre de m la puissanre (/ï-|-é-|-c-|-. . - H-/)" sera composée de /i* termes, qui sont préeisémenl les arrangements n à n avec répétition.

Puissances du polynôme et du binôme .

0. Théorème. — La puissance n''"" du polynôme rt-4-6-hc-|-. ..-+-/, formé de m termes, est donnée par la formule suivante :

[a) (a + 6 -H r H- ...+ /)-= V . LJJfHltojtld a'b?c'...,

IIa.113.11*/ . . •

oà

a-+-?H-y-h.. . = /*, ou bien

* ^ lÂXiT) ""^iia'np'ny"*"

Démonstration, — Les n — i multiplications, qui donnent

(rï4-6-h c-t-.. .-h/)",

produisent m" termes : ce sont les arrangements de m lettres n à /« ac^c i^pétition. Q\x£ind on rétablit Tordre alphabétique, tous les termes qui donnent la même combinaison a^ b^ c^ , . . sont au nombre de

na.n;3.ny...

» et Ton a la formule de l'énoncé.

Théorème. — Lenombredestermesdudéveloppement{a'^b-hc...-hl)'', le nombre des lettres a, b, c,. , , l étant m, est égal à

^., m.vm-f-i).. .(m-h/i — i) L = •

Démonstration, — Car, en supprimant les coefficients, on a les combinaisons de m lettres n «i n avec répétition.

PUlSSÀIfCB DU BINÔMI. ^3

tO. Pour le cas de deux lettres ou du binôme> on a C^,m = m + i> et en effet les combinaisons avec répétition sont

a*", fl*^' b, ««-' b\. . ., a' b^' , b".

Dans ce cas on a la formule suivante :

Théorème.

/ »x fn . mim — i) ..

(«+6V«=:a"H oT'-'b^ ^^ ^ a'^^b^ H- • . •

^ m(/yi-^f)...(m-/-+-i) ^„,,^, ^

+ HLlULlZl a^b-^+^ «6"-' + 6".

Démonstration, — Le coefficient de a^b^, où a 4-' (3 = m, est

Par la suppression des facteurs communs aux deux termes il devient

. ou 9

ou encore, en posant p = i, d'où Ton tire a = m — i,

i i 1— ; i ou i i— 1-; '•

r ro . ,m(m— i)...(m — /-f-i) . « j ,.

Le coefficient — ^^ — ^—. -' exprime donc de combien

de manières on peut permuter m lettres composées de deux groupes, Tun de i mêmes lettres, l'autre de m— « lettres aussi les mêmes.

Mais il a encore, comme on Ta vu, d'autres significations.

Voici des cas particuliers :

■ (a-hby=i, {a-^by = a-hb, (a -h 6)=» = a* -h 2 «6 4- 6% (a 4- 6)^ = a' -I- 3 a^6-f- 3ab' -h i% (a -4- 6)< =a* -f- 4 a^ fr-h 6a*6' -f-4a6» -h 6% [a H- by = a'-h5a*b-h lo a^b^ -t- lo a' 6» 4- 5a6* 4- frS (a-i- 6)« = a«-+-6«*6-hi5a*6»-i-2o«»6»+i5a*6<-f-6û6*4-i«.

^4 LNTRODtCTION A LA TUÉORI£ DES N03IBRKS.

li. Les ihéorèmes qui suivent, montrent comment les nombres de combinaisons avec et sans répétition s'introduisent comme coeiû^ cients dans la formule du binôme.

Théorème. — Dans le produit ( i H- a^c ) ( i -f- 6j7 ) . . . ( i -+7 /^ ), les facteurs étant au nombre de m, le coefficient de x" est la somme des cornbinaisons n à n des m lettres a, b, ...,/. Pour a = b = . , . = / = i le produit devient (i-f-^)'" et le coefficient de x" est

Théorème. — Dans le produit de m facteurs

le coefficient de ^c" est la somme des combinaisons des m lettres a, b. . .1 prises n à n avec et sans répétition.

Théorème. — L'identité, après développement, de Véquation

,a*jc* = (i — ajr)(i-f-flj;-|-a'^'H-. . .-ha*-*^*""') donne, pour ax <^i et k infini,

=\-irax-\-a^x^-\-a^x^-\-.,..

Théorème. — Dans V hypothèse de x <^i, le développement de

( I — ax)[ï — bx), . . ( I — Ix) = (i-hax-i-fl»j;2-h. . .) {i-^bx-{-b^x\ ..)... (i-|-/^ 4- /'^'-f-. ..)

a pour coefficient de x^ la somme des combinaisons nàn avec et sans répétition des m lettres a,b,,..,l.

'oppem

Pour a=b = ... = l=:i,le développement de = ( 1 — x)

a pour coefficient de x^ le nombre Ç]^^^

Remarque. — Le développement de (i — xY étant

mim — i) , min

\ — mx-\ ^ ^ x^ ^

le changement de m en — m donnera

m{m — i) , mim — i)(m — 2) ,

\ — mx-\ ^ ^ x^ ' ^r- '-x^-