Dans l'équalion

où a et 6 sont des entiers donnés, ^ un entier variable pris à volonté, X sera nécessairement aussi entier positif, négatif ou nul. Dans tous les cas on dit que y est résidu de a pour le module 6. Dans réquation souvent employée

a = mb -h c,

où c tombe entre o et ft, on dit que c est le résidu minimum positif de a pour le module 6.

Pour réquation

où c' tombe entre o et 6, on dit que — c' est le résidu minimum négatif de« pour le module 6; il est question de la valeur absolue. Le résidu minimum positif étant c, comme l'équation

a = mb -\- c revient à

42 = (m -f- I ) ft — ( ^ — c),

le résidu minimum négatif sera

— [b — c) = — c\ d'où Ton tire

on peut donc passer immédiatement de l'un des^ résidus à Tautre. Comme des équations

a = mb-hc, a=r{m'^i)b — {b — c).

3o INTROULCTiOX A LA THÉORIK UBS .NOMBIIKft.

îl résulte que l'on a

on a coutume de représenter m par E (tt) pour dire rentier de ^•

Quand a est multiple de 6, on a E ( j 1 ^ y

Gauss et les auteurs allemands emploient le signe I t r

Au moyen de ces notions, on reconnaît l'exactitude des propositions suivantes, qui résument la numération.

THÉoifiME. — Tout nombre positif n peut être mis sous la forme

n = a-h be -h cB^ -h (19' -¥- • . • -f-frô'",

les nombres a, b, c,, , ,, k étant positifs ou nuls et inférieurs à 9. Cette décomposition de n est unique pour une même valeur de 9,

Remarque I. — Si l'on convenait de prendre les nombres a, b, c,... non supérieurs à la moitié de 9, ils seraient les uns positifs, les autres négatifs, k seul serait toujours positif. La forme donnée à n serait en-

. core unique ; seulement, pour 9 pair, il faudrait convenir de prendre avec le signe positif.

Remarque IL -- Pour = io on a l'expression de n dans le système décimal ; a, 6, c, . . . sont les chiffres du nombre. Si 6 = lo', on voit tout de suite que a, 6, c, . . . sont des tranches de deux chiffres, et généralement des tranches de m chiffres, si 9 = lo".

Comme 0" — i est divisible par 9 — i, et que de même 9^ — i, 02iin-i^, gQj^t divisibles par ô-f-i, on déduit de l'équation

Al = /rô"" 4- /0'"~' -h. . .-+- c0» -+- ft 9 -h a,

des règles simples pour reconnaître si de petits nombres, tels que 2, 3, 5, 7, II, i3, divisent n.

Pour 0= 10, n est exprimé dans le système décimal, et comme = lo = 2 X 5, pour que n soit divisible par i ou 5, il faut et il suffit que a le soit.

COMMUTf DIVISEUR. 3r

La valeur de n conduisant à

n = Âr(0'»— i)-f-ï(e'»~'— i)^-...-hc(0' — i)-f 6(0— i) -f-A'-f-ï-h. ..-|-c-h6-ha, ou

la divisibilité de n, par 9 — i, ou un diviseur de 9 — i a pour condition nécessaire çt suffisante que «H-6-f-..- -f- i-\- A*, sonnme des chiffres, soit divisible par 9 — i ou par le diviseur de — i, on a ainsi les règles pour 3,9.

L'expression

n= a — b-h c — d -h. . .4- 6(0 -4- i) 4- c [0*— i)-h rf(0»-f- i).. . ,

ou

n=a — 6-t-c — rf. ..H-(0-H-i)g,

donne la règle pour la divisibilité par -h i ou Tun de ses diviseurs, pour = 10 on a la règle pour reconnaître si 1 1 divise un nombre.

Si Ton prend pour une puissance de 10, par exemple 10*, on trouvera des règles de divisibilité par les diviseurs de 10* — 1 et io«-t-i. Comme 10* -f- 1 == 1001 = 7.11 .i3, on a une règle assez simple pour reconnaître si un nombre est divisible par 7, 11 ou 1 3.

Soit le nombre 32788. On I3 partagera en tranches de trois chiffrés, on prendra 788 — 32 = 756; or 756 est divisible par 7, et ne Test ni par II, ni par i3; d'où il résulte que des trois nombres 7, 11, i3, il n'y a que 7 qui divise 32788.

L'emploi des Tables est bien préférable, mais il ne s*étend facilement qu'aux nombres inférieurs à une certaine limite.

Recherche du plus grand commun diviseur de deux ou de plusieurs nombres.

15. Le plus grand nombre qui divise chacun des nombres a, 6, sera représenté par D(a, 6), et généralement D(a, 6, c, ...) indiquera le plus grand nomWe qui divise chacun des nombres a,b,c,,... La détermination du nombre D (a, 6, c,. . .) dépend des propositions suivantes, données par Euclide dans le VIP livre de ses Éléments.

Théorème. — Formez la suite d'entiers décroissants a, b, c,d,. . ., tels que de trois nombres consécutifs le troisième soit le résidu mi-

nimum positif du premier, le second étant pris pour module; la suite se terminera par les deux nombres k et o, et k sera le nombre D(fl, 6) = D(6, c) = r)(c, ^/) = .... = D(/i,i) = D(i, *-) = *.

Démonstration, — On a

I a = 6rt'-4- ^, b-=i cb' -+- d, v = rfc' -f- e, . . , \f=gj-^h, g^hg'-^i, h=ih'-^k, i=ki\

Comme les restes c, rf, ^, . . . , vont en décroissant, il est nécessaire que la suite s'arrête.

Cette remarque déjà faite, que la somme de deux multiples d'un nombre est un multiple de ce nombre, qu*il en est de même de la différence de deux multiples d'un nombre, et enfin que tout multiple d'un multiple d'un nombre est multiple de ce nombre, montre que l'équation

az=bq±c conduit à

D'après cette remarque, les équations données plus haut entraînent

D(a,6) = D(6,c)=...=D(/g-) = D(g^,/i) = D(A,0 = D(i,A-)=:A'. Voici des conséquences des équations (a) qui donnent le plus grand commun diviseur des nombres a, b.

Théorème. — Tout diviseur commun de di et h est aussi diviseur rfeD(a, b).

Théorème. — On a

Ces formules, dont l'exactitude s'établit en quelques mots, font voir que l'ordre des nombres a, 6, c, . . . peut varier sans que le résultat change.

Théorème. — On a

D(a, 6, c, rf)=D[D(a, b, c),d]= ,

D(a, 6, c, rf) = D[D(a, 6), I)(c, rf)] = ....

Ces formules s'étendent à tant de nombres qu'on voudra.

Théorème. — Tout nombre qui divise chacun des nombres a, fe, c, tf,... divise aussi D{ay b, c, d,. . , ),