ac. bc — 2bc.ad

ou par la soustraction de la même quantité.

On voit donc qu'une somme de deux carrés, multipliée par une somme de deux carrés, donne de deux manières une autre somme de deux carrés. Mais il peut y avoir d'autres décompositions en deux carfés;cequi précède n'est qu'une simple vérification. Celte formule a été donnée par Léonard de Pise dans son livre des carrés retrouvé par les soins du prince Boncompagni.

Euler a donné la formule

(a^-f-ft^-f-c^-f-rf^) (A»-f-B^-f-C^-+-D')=(«A-f-ftB-4-cC-f-rfD)%

-h («B — bA-hcD — dCy, -h(aC — 6D— cA-f-rfB)S -f-(rtD + 6C — cB— rfA)%

qui montre qu'une somme de quatre carrés, multipliée par une somme de quatre carrés, donne une somme de quatre carrés. Comme il est permis de changer le signe d'un ou de plusieurs des nombres

FONCTIOlfS HOMOGÈNES. 65

«, b, c, d; A, B, C, D^ ce qol ne change pas le premier membre, on a diverses décompositions.

La formule suivante, qui est de Lagrange, renferme celle d'Euler :

(^2 B^»— Cr^H-BCs^) ( ;>'^— B^''— Cr"-f-BC*'») = {pp'+Bqq'±:C rr' ± BC^y')^ — B(/?^'-f-p'g±Cr6'±Cr'5)* -^C(pr'—'Bqsf±.rp'zç.Bsq'Y -hBClqr'—ps'àzp' szprq'y.

En faisant B = C = — i, on retrouvé la formule d'Euler, à la notalion près.

Il existe des formules analogues pour des degrés supérieurs.

M. Brioschi a donné une formule pour le cas du produit de huit carrés par huit carrés, probablement la suivante avec quelques chaingements de signe :

= ( ««' -h ftft" -*-'c</ + rfrf' + ee' -+-ff -h gg' -+- hh' y ^{ab' — ba' — cd'-Ardc' — ef'+fe' — gh'+hg'Y -\-[ac'-^bd' — ca'—db'^eg'—fh' — ge''^hfY -h ( ad'—bc' -hc*'— da!—eh'—fg^ "^gf'-^ he' )' -+-( ae' 4- bf—cg'-\- dh'— ea' ~fV -^ gc' — hd' Y

^ [af — be' -\-ch' + dg ^eb'—fa' — gd'—hc'Y 4- {ag'+bh'-\-c€' — df'—ec'-\-fd' — ga'—hb'Y -\-[ah' — bg' —cf— de' ^ed^-^fc -h gb'-^ha'y.

Cette formule m'a été communiquée par M. ProubeL

La proposition s'étend au produit de la somme de 2" carrés par celle de 2"* carrés, qui est aussi formé de 2" carrés, comme Ta montré M. Angelo GenoccM {Annali di Matematica pura ed applicata, t. III, n<>4.)

5tf. Les démonstrations précédentes sont purement arithmétiques; on pourrait aussi employer la considération des imaginaires; ainsi

i(^-^b'){c' + d')={a'i-b\/^^i){a — b)/~){C'^d)/'^^ = [a-\-bsf^i)[C'^dsf=^i)^{a — bf^i)(c — dsf^ = [{ac — bd)'\-[ad-^-bc)^f^i\{ae — bd — (ad-k-bc)^ — i] = (ac — èrf )^4-(arf4- ftc)».

C'est là une démonslrsnion analytique.

H> IMTAODl'CTIOIf 1 Là THEORIE DBS TISOMBRES.

N Okci uuo autre déoionsuration de même genre. Si Ion pose

fl» 4- 6' = (rt -+- 6 v^^^) (a — 6 v'^)»

il ru résultera

= (A-f-Bv^^){A— BV") = A'4-B%

ou |>OManl, d'après la formule du binôme,

B = imr-»6 i ii- J^— ^6».^

f )fi voit par cet exemple comment remploi des imaginaires abrège i'^*rU\f\H calculs.

il Hffrait Cacile d'obtenir d'autres résultats par la multiplication, u%h\^ on n'en verrait pas immédiatement l'usage; il suffira d'en citer iiui'^l/iuei^uns d'un emploi fréquent :

(a —b] (fl— ' -h cr-^b -h tf— ïfc'-f- . . . -+-a6"-» -h **"' ) =a'"— fr". Ijt Rangement de b en — ft donne, pour m pair,

{a-^b) (ar-' — ar-^b^ar-^b^ — . ..-f-<ifr*-'— fr^') = a- — 6*, kit P^^^ "^ impair,

(fl-T-*) («*"*— a^**-hflr~'6*— ..—«*"•'-+- ft*~') = rf" H- 6-.

Si l'on bit 6= I, la formule

{a— i)(a^'-f-a*-'+...-hfl-*- i) = a" — i donne la somme des nombres

tfjui forment une progression géométrique .

$6. Parmi les fonctions transcendantes, la théorie des nombres f:oabidére surtout la fonction a*; en y faisant :c=o, i, a, 3, 4> etc.,

PROGRESSION GÉOSIÉTRfQVE.

on a une suite de nombres en progression géométrique I, rt, a', a-,..., (t'y

dont la somme des termes est

Les différences successives de ces nombres sont aussi des progressions géométriques, comme on le voit ci-dessous

Leurs premiers termes forment encore une progression géométrique

(a — I), [a — if, {a — i)\ (a — i)*,....

Quand on considère les restes des nombres

divisés par un même nombre, on est conduit à certaines propositions d'où résulte une sorte de logarithmes aussi utiles en pratique qu'en théorie.

i!«TmoDi;cnoif a i^ ratoMi »■• hovris.