On peut se proposer, relativement à la fonction entière

f[x) = ax^-\-bx'*-' 4-...-f-/r-+-g',

diverses questions, notamment celles-ci : Quels sont les nombres qui mis pour x rendent /(a: ) divisible par un nombre donné m; autrement, résoudre en nombres entiers l'équation indéterminée

f[x) = mx.

Toute une partie de la théorie des nombres ou plutôt de l'analyse indéterminée traite de cette équation qu'on nomme congruence.

Une autre question qui se rattache à la précédente est de trouver la forme des nombres m qui divisent une fonction entière f[x). Ces questions sont loin d'être résolues complètement et d'une manière réellement pratique.

Voici une transformation de/(^) souvent utile.

Théorème. — Si Von a

FONCTIONS ENT1ÈHES. 63

il en résultera

f(x) —f{ac) = {x — a) [ax"-' -f- («a -h &) ^""^

Démonstration, — Cela résulte jj«mi formule

X" — a'»=(^ — a) [^'»-'-ha>^?-4-a'^-'-+-. . .-h «""^^-ha"""'].

Celle iransformalion peul encore êlre présentée autrement. Si Ton nomme fonction dérivée def{x) et qu'on représente par/' (x) une fonction tirée de la fonction entière «^" -h bx"-^ -h ^ -hfa -+- g, en multipliant chaque terme par l'exposant de x, puis diminuant cet exposant de l'unité, on aura

/' [x) — . nax"-' -h (/i — i) bx"-^ -h . . . -+-/.

Si/" (x) représente semblablement la dérivée de/'(^), de sorte qu'on ait

f' [x) = n{n—i) ax"-^ -f- (« — i) [n — 2) 6^«-=» -h. . . ,

et ainsi de suite; si Ton remplace x par a -f-(^ — a) et qu'on développe les puissances

par la formule du binôme, on aura la proposition suivante : Théorème. — La fonction entière f(x) se développe ainsi :

ce qui rei/ient à

/(x)-/(«) = (x-«)[/'(«)+-ÇM(^«)H...+ gfl.^(^«).-,j.

55. Après les fonctions entières d'une seule variable viennent les fonctions entières de plusieurs et principalement les fonctions algébriques. Il faut distinguer surtout les fonctions homogènes. Les fonctions

ax -f-. bf, ax-\- by^-^cZy ax -^ bjr -\- cz -\- du, etc . ,

sont des fonctions homogènes du premier degré.

Après les fondions homogènes du premier degré viennent ceHes du second, à deux ou plusieurs variables,

ax^ l l)y^ ^ cz^ -h dyz -h ezx -\-fxy^

el ainsi de suite.

Ces fonctions homogènes du second degré sont dites quadratiques, et binaires, ternaires, quaternaires^ e/c, selon le nombre des variables.

Comme les fonctions entières non homogènes se partagent en fonctions homogènes de divers degrés, on voit que leurs propriétés doivent dériver de celles des fonctions homogènes.

54. En multipliant une fonction homogène de degré m par une fonction homogène de degré n on trouve une fonction homogène de degrém-t-».

Voici des exemples qui serviront plus loin : ,

(tf'-h 6') (c» -h rf») = a» c^ -h 6^ c» -f- û» rf' -f- 6»rf«

= (fl^c'H- h^d*) -f- (6* c^ -h a» rf') = [ac ±bdY^ [bc ip ad)\

Cette transformation s'obtient par l'addition de la quantité nulle