L'équation

P:ix(x-hi)(x+a)...(xH-P— a)=x(jrH-i)...(x-hP— I)

conduit à un théorème remarquable que l'on nomme Théorètme de tf'Uson^ du nom de celui qui l'a énoncé le premier. Il convient exclusivement aux nombres premiers, mais la longueur des calculs empêche qu'on puisse s'en servir pour voir si un grand nombre est premier ou non.

TiiÊoRbit M WiLS05. — On a« ponr ioui mambie fitmier P, H-i.a.3... (P— i)so, mod.P.

Démomsiraiiom. — Si. dans Téquation

on £ftit x = P — 1« claque membre sera divisible par P. la dnision étant faite, si Ton néglige dans le premier meflihre les sommes multiples de P; et que dans le second

.P-i\P+»:.P-i-a...(PH.P«a:,

ott néglige P dans les fiKieuis P---i, P+^,..., ce fui le léduH à

— isi.2.3...(P— i), mod.P, ce qui revient à renoncé.

Théorème. — Le nombre p n* étant pas premier^ on a 1.2.3. ..{p — i)^o, moA. p, excepté pour p=^ qui donne i . 2 . 3 s»2, ino<Jb« 4»

pémonstratio.n.'-r i« Si p ==: qr, les hombres^ j et i^jétant iriégaitxi se trouvent Mins la suite i,2,3^..,/>—i; le produit 1.2.3. ..(/; — i) est donc divisible par j^. 2° Soit p = 5% si ^ — i égale ou surpasse 20, on aura-^t'Jîi.^y. .^i^i^^ dlVWibte^iàf ^- îig4y^2 5^:^2^y et par co^^ quent divisible par p; comme » — 1 = 5* — i,la condition q* — i>2ç revîentà(9 — i)^>2 0u ç>'ï-f-V^'>2j

Théorème. — La congruence à module premier P

*'• ' 14-1.2J3. ..(P— 1)^0, mod. pV

révient à - ' •••■■■• ' • ' . '" ■ • ' ' ' '"''' "'" " ' " ' "

Ti.2.3...(^--^V.T-f-(— i) * Wo, tnod.r, savoir, pour P ^ i , mod. 4 >

[1.2.3. ..(î^)lVi = o, mod.P,

e/, powr P ^ 3, mod. 4» ^ ^ ^..^i.^v\

= ri.2.3../(5~W»l f*.2.3.../?^ mod.P.

Démonstration. — Cela siiit de ce que Ton a i{P — i)^ — f% mod. P,

el de ce que Ton prend pour z les nombres i, 2, 3,. . . ,

8?. I>TRODIC110M A hk THfiORIK DES NOSBSES.

Remarque. — Pour P^3, nioil. 4, **"n desf nombres

est divisible par P; il n*est pas facile de dire à priori lequel de ces deux nombres est multiple de P.

45. Théobème. — Le nombre n étant égal ou inférieur à P, la fonction entière

ne peut être rendue divisible par P, nombre premier ^ par plus de n nombres inférieure à P.