IV. B. On suppose le premier coefftcieni non multiple de P

Démonstration. — !• Cela a ^ic prouvé pour or -4- 6; il n'y a qu'un nombre inférieur à P qui rende rt^H-fc divisible par P, a® Soit ar*-f-6x-4-c; si un premier nombre j: = a donne aa'+ 6a -+-c multiple de P, pour d'autres valeurs de x qui rendent aj;'-+- 6^ -l-c multiple de P,

ax^-^ bx -h c — (aa'-h &a -h c) = (x — a) [a{x -h a) -4- 6]

sera aussi multiple de P. Or aucune valeur de x <CP, et autre que a, ne rend x — a multiple de P ; c'est donc a ( j: 4- a) -+- 6 qui doit l'être , ce qui ne peut arriver que pour une seule valeur de x inférieure à P. Ainsi il n'y a pas plus de deux valeurs dex inférieures à P qui rendent o^'-j-A^H-c multiple de P. S'» On prouve de même qu'il va au plus trois valeurs de x inférieures à P qui rendent

ax^ H- bx"^ -{-cx-^ d

multiple de P. El ainsi de suite.

Théorëme. — La fonction

x^"^ — iz={x^ — I ) ( j-c»-»;--!- ^('«-2)-^ . . . ^' 4- I ),

où l'on suppose P — i = m./i, est rendue divisible par P en mettant pour X les mn nombres

inférieurs à P. De ces nombres, m rendent x'* — i divisible par P, et les (n — i )/» autres rendent le second facteur

divisible par P, nombre premier.

G0NGR4JBNGES BINOMES. 83

Démonstration. — Il suit du théorème de Fermai que

est rendu divisible par P en y faisant y = 1, 2, 3,..., P — 1. Tous ces nombres rendent

divisible par P. Si le facteur x^ — i n'était rendu divisible par P que par m — à valeurs de x inférieures à P, il faudrait que la fonction

fût rendue divisible par P par mn — {m — è) = m(n — i ) -4- ô valeurs de a: inférieures à P, ce qui a été démontré impossible. Il faut donc admettre que m nombres pris parmi i, 2, 3, . . . , P — i rendent x'^ — i divisible par P.

Généralement si Ton a

f(x) étant de degré k txfx{x) de degré P — i — /r, la fonction /(j:) sera rendue divisible parP par k valeurs de x inférieures à Pj et / (x) le sera par P — i — k valeurs.

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