RÉSIDUS POUR LE MODULE P". ICI

au nombre de <p(P — i). Les nombres g-, g', gr" étant les racines primitives pour le module P, ces formules contiendront toutes les racines primitives, c'est-à-dire qui appartiennent à Texposant p«-»(P — i)==(p(P'»), mais elles en contiendront aussi de non primitives qu'on déterminera comme il suit: Pour la formule g--hPz, on commencera par poser

gP = g4-PA-hP'A^,

c'est-à-dire que g-f-PA sera le reste de g^ divisé par P^; ce reste fera connaître h. Dans g-l-P2<CP"> on a

de ces P"-' valeurs de z il faut exclure celles qui ont la forme A H- P^ et qui sont au nombre P**"*. Il reste ainsi P"""* (P — i ) valeurs de z dans chacune des formules (a) qui sont au nombre de cp(P — i); après cette exclusion, les formules [a) contiennent en tout

P»-2(p i).cp(P i)=(p(P«-').cp(P — i)

nombres qui sont racines primitives pour le module P", c'est-à-dire qui appartiennent à l'exposant P""' (P -— i) = <p (P").

Ces assertions se prouvent ainsi qu'il suit :

On partagera les nombres i , 2, 3, . . • , P — i en deux classes : i** les nombres A, A', A",.,, qui appartiennent à des exposants diviseurs de P — I et plus petits que P — i, c'est-à-dire que les nombres A, A', If y ... ne sont pas racines primitives ;

2® Les nombres g, g', g'',..., qui appartiennent à l'exposant P — I, ou les cp(P — i) racines primitives pour le module P.

Théorème. — Si Von fait f=h'h^z, les nombres /appartiendront à des exposants diviseurs de k . P""' pour le module P", en supposant que h appartienne à l'exposant k pour le module P.

Démonstration» — On a

Or on a aussi

/i*=i-hPw;

donc

I02 INTEODt'CTION A LA TUÊOEIE DES NOMBEES.

élevant à la puissance P^'» on aura

/*»» = i-hP'iv', /*•"*'= I -h P'iv", ei enfln

De là on doii conclure seulemeni que / apparlieni à un exposant diviseur de A-P"-', /n'appartient donc pas à l'exposant (P — i).P"~', mais à un exposant inférieur.

Théorème. — Les nombres fzzzg-^Vw, qui donnent

(gH-PiV )«*-' — i = Pz,

appartiennent à V exposant (P — i).P*"' quand z n'est pas divisible par P ; ils n'y appartiennent pas dans le cas contraire.

Démonstration. — Les nombres/=gr-h P^ ne sauraient appartenir aux exposants k, P^, A-P", le module éunt P" et k diviseur de P — i autre que P — i . En effet, on a

(^-^p2)P = g^>'-hP^w.

Or g"P-' = iH-Pi' donne

^P = ^4-P/,n'; donc

semblablemeni

Si Ton avait

on aurait donc

g^\, mod. P,

ce qui n'est pas. Comme Ton a

supposer

c'est supposer

g*;E=:i, mod. P,

RÉSIDUS POUR LE MODULE P". io3

ce qui n'est pas. Même démonslralion pour l'çxposanl kV"^. Ainsi les

nombres g-^Vz ne peuvent appartenir qu'à l'exposant (P — i).?"", il reste à voir quand on peut prendre a < w — i .

Soit/P-' = i4-P^, z n'étant pas divisible par P; en élevant à la puissance P, on aura

/(^-)-P=i4-P^-s', où z' n'est pas divisible par P; puis semblablement

OÙ -2'' n'est pas divisible par P, et ainsi de suite; de sorte qu'il faut élever /**-' à la puissance P"-* pour avoir

j(P-i)P'»~'-,l pii^^^^

et Zy n'est pas divisible par P.

Théorème. — La puissance /^"*' = (g"H-PiJ)^"' ne peut donner (g* 4- Pz )^"' — I divisible par une puissance de P supérieure à P que quand, en faisant g^ = g -i- hV -h kP^f on a

z^h, mod.P.

Dénions t ration. — Quand (g*-f-Pz)^-* — i est divisible par P» ou par une puissance de P supérieure à P% il est nécessaire que {g-^-Pzf — (g'-l-P^) soit divisible par P% et quand cela arrive {g-WVz)^"^ — I est aussi divisible par P*; or

(g^-4-Pi;)P = g^P-f-P'M = g'-i-APH-P'.^, donc

il faut donc avoir

z = h-hVt.

Quand cela arrive, /^"' — i est divisible parP%' quand cela n'arrive pas, /^~' — I n'est divisible que par P.

Cet énoncé démontre la règle du n" itffi, et l'on a cette proposition :

Théorème. — // j a pour le module P" autant de nombres appartenant à l'exposant P"-»(P — i) = <p(P'') qu'il x « de nombres inférieurs et premiers à 9(P"), c'est-à-dire 9 [9(P'')].

lo4 INTRODIGTION A LA TUÊOBIB UKS NOMBRES. — RÉSIDUS, ETC.

On prouve comme pour le module P ces autres propositions :

THÉORftHB. — Si le nombre g appartient à l* exposant P*"* ( P — i ) pour le module P", il en sera de même de g' ou du reste de la division par P" quand i est inférieur et premier à P»-' ( P — i ) .

Théorèhb. — Pour toute racine g appartenant à l* exposant P*-' ( P — I ) pour le module P", on a

grP*-'(P-.) = ,, g =— I, mod. P%

g""^^a, g * =P — /i, mod. P".

Théorème. — La congruence

entraîne

g^^g^y mod. P-,

a = (3, mod. P— '(P — i).

Tout ce qui a été dit des Tables pour le module P s*applique aux Tables pour le module P*.

Remarque. — Jacobi, dans l'Introduction de son Canon arithmeticus, a démontré le premier que toute racine primitive pour le module P' Test aussi pour le module P*, où a est plus grand que a. 11 restait à donner la manière de trouver les racines pour le module PS en supposant connues celles pour le module P : c'est ce que j'ai indiqué dans une Note sur le Canon arithmeticus (Journal de M. Liouville, t. XIX).

Il y a divers moyens d abréger le calcul de la racine primitive au moyen de laquelle on construit les Tables. Ils seront indiqués dans l'Introduction d'une Table plus étendue que celle de Jacobi.

ji.