V. fi i
oà les exposants ï, a, (3,.. ., 5 sont tous les nombres inférieurs et premiers à d.
De là résulle encore celle proposilion :
Théorème. — Il y a des nombres qui appartiennent à un diviseur quelconque d de P — i .
Démonstration. — Au diviseur i apparlienl le nombre i. Au diviseur 2 le nombre — i ou P — 1 ; si rf, rf', rf",. . . , sont les aulres diviseurs de P — I auxquels apparliennenl les aulres nombres de la suile I, 2, 3, . . . , P — I , comme loul nombre inférieur à P apparlienl à un cerlain exposanl, on,aura
9(i)-|-9(2)4-9(rf)-4-9(^')-H---=P — I-
Or on a irouvé
2?(rf) = P-i;
la somme s'élendanl à lous les diviseurs de d^ il esl donc nécessaire qu'il y ail des nombres apparlenanl à loul diviseur de P — i, car auiremenl le nombre P — i aurail deux valeurs inégales. Voici un aulre modo de démonslralion :
Théorème? — Si les nombres a, b appartiennent à des exposants différents oc et ^ dont l'un ne soit pas multiple de l'autre, il y aura des nombres appartenant à l'exposant m (a, (3), moindre multiple dé * a et (3, et par conséquent plus grand que chacun de ces nombres.
Démonstration. — On décomposera m{a,^) en deux fadeurs a', (3' premiers entre eux, le premier diviseur de a ei le second de (3. La chose esl toujours possible, comme on le voit, en décomposant a et p en leurs facteurs premiers ; il y a même plusieurs solutions^ si un même facteur P a le même exposant dans a et p. Cela posé, comme l'on a
USAGB DES TABLES. C)7
Si Ton avait r== m -+- r', il viendrait OU encore
Si Ton fait 2m = P — i, on a le cas de l'énoncé. Quant à la dernière partie, elle a été prouvée plus haut.
Théorèhe. — La congruence g^^ g^, mod. P, donne a ^(3, mod. P — i.
Démonstration, — La quantité g^ — S ^= s ^S^'^ — étant
divisible par P, g^" '^— i doit l'être; il faut donc que a — ^ soit multiple de P — i .
D'après Gauss, au lieu déposer g-^^a, mod. P, on pose g^*"^''^^, mod. P, L'abréviation inda, pour indice de a, représente un nombre entier inférieur à P. Dans les Disquisitiones, Gauss donne les indices des nombres premiers pour les modules inférieurs à loo. Il est bien préférable d'avoir une Table donnant les indices de tous les nombres inférieurs à P. La Table de Jacobi, Canon arithmeticus, est construite pour les modules inférieurs à looo. Au lieu de calculer les nombres répondant aux indices i, 2, 3,. . ., P — i, on peut se contenter de
calculer ceux qui répondent aux indices i, 2, 3,. . . , , car, en
p — I vertu de g- ^ ^ — i, et de g^^'^^'^a, on tire
g ^^ — a^P — a, mod. P.
Au moyen.de cette Table, on en forme une autre donnant les in -
dices des nombres. Si Ton a ceux des nombres inférieurs à »
on peut en déduire les autres, puisque a < donne
P — I P rt> ,
et que d'ailleurs de <2^g"'"^" on tire
indado
Si, en calculant les restes de 1, gf,. . ., g ' , on a trouvé
P — I ind« et a étant plus petits que » on aura par là même Tlndice
d'un nombre < ; mais si, inda étant <r 5 on avait
on prendrait
g ^ ^P — «, mod. P.
inda-
Comme P — a est plus petit que —^ — » on obtiendra ainsi tous les
•indices des nombres inférieurs a • Si Ton prolongeait la Table
de Jacobiy ce qui serait fort utile, on pourrait sans inconvénient l'abréger de moitié, comme il vient d'être dit.
Gauss, dans ses Disquisitiones, ne donne pas la Table qui fait connaître les indices d^îs nombres. Il montre comment la Table qui donne
la réduction des fractions 5 en fractions décimales périodiques peut
faire connaître les indices des nombres pour le module P; ce moyen est ingénieux, mais long et incommode.
Un seul exemple de l'usage de ces Tables suffira ici.
Pour rendre af^ — a divisible parP, on posera
j; = grindx^ ÛSg^î"'»'», mod.P;
de là ou bien ou encore
indx ^= 0>indfl
m ind x — ind « = ( P — \)y\
Il suffit donc de rendre inda-f-(P — 1)/ multiple de m, ce qu'on sait faire, quand le plus grand diviseur commun à P — i et à m divise le nombre ind a.
USAGE DBS TABLES. 99
On pourrait remplacer le mol indice par logarithme pour le module P, el Fabréviation ind,a par L.a.
Voici pour le module P = 61, P — 1 = 2». 3. 5 la disposition de la Table de Jacobi .
A. Nombres,
B. Indices.
iG
3ft
ÛO
(So
-Vj
fio
ii-i
:ii
ao
■,ti
liS
ii3
iK
ij
La Tablé A contient la période du nombre 10, racine primitive du module 61. Dans des cases correspondantes aux indices ou exposants I, 2, 3,,.. on volt les restes de 10, io% io%... divisés par 61. La Table A contient la période entière ou les restes de 10, 10% 10%..., lo^**; mais il suffit de calculer la demi-période i, 10, io%..., lo'»: ainsi on pourrait sans inconvénient supprimer tout ce qui est audessous de la ligne ponctuée,
La Table B donne les indices, exposants ou logarithmes modulaires des nombres i, 2, 3,. . . ; elle se forme au moyen delà première. Dans ces Tables, chaque ligne contient dix nombres, les unités de Targument sont sur une première horizontale, les dizaines sur la première colonne verticale.
Voici un exemple de l'emploi de cette Table : Soit proposé de résoudre la congruence
ou réquation
j;'^3i, mod.6i, A'' = 3i-|-6i j.
Comme on poul poser .r^io'"'*', 3i^io'"'^", il vient
,Onndx^,oind.^i^ mod.6l,
lOO I.^TRODICTIO.N A LA THÉORIE DES NOMBRES.
MU
io''"**'-'»***' = i, mcxl.Gi, ou eDCorc
7iii(lx — - iii(l3i=:o, iiio<l.(>o, ce qui revient à
7 iinJ.r — l'i =6or.
Pour rendre 6o>-f- 13 divisible par 7, il sufHl de faire ^•= 2 ; ainsi
nid X = = 19,
d'où
En généra], étant donnée la congruence
ax^^b, inod.P, on en tire
indtf -f-'iind jr^ind6, mod.P — 1 ;
car en faisant
rtsg^*»**«, ^s^'*"**', jr"=g-"'"**', mod.P, il vient
.^.indo+nindx^ tr\tȈh mod. P,
ou bien
OU encore
ind « -I- n ind JT — ind^^Eo, mod.P — 1,
ce qui revient à
n indjT — (P — 1^ >•= indé — indff.
Cette équation fera connaître ind x, puis la Table donnera x.
Du module F".
tfS. Quand on connaît les racines primitives du module P ou les nombres appartenant à l'exposant P — i = çfP), on trouve immédiatement les nombres qui, pour le module P", appartiennent à l'exposant P''-'(P — i) = cp(P''). On posera les formules
