SYSTEMES BINAIRES ET COUPLES D'ÉLÉMENTS
9. — Les liaisons sont réalisés dans un mécanisme par le moyen de contacts établis entre les corps qui le constituent ou, tout au moins, entre certains de ces corps.
Nous supposerons jusqu'à nouvel ordre que ces corps sont des solides indéformables. Nous étendrons ensuite aux cas des corps déformables les résultats que nous aurons obtenus.
Deux membres contigus (c'est-à-dire en contact direct) dans un mécanisme sont tangents entr'eux par les moyens de certains profils ouvrés sur ces deux corps. Chacun de ces profils constitue im élément cinématique : deux éléments cinématiques portés respectivement par deux corps contigus sont dits conjugués, ils représentent ce que nous appelons, suivant une locution de Reuleaux, un couple d* éléments cinématiques conjugués.
Le couple d'éléments est dès lors le siège du contact de deux corps contigus.
La notion de Reuleaux diflère de la mienne en ce que celui-ci suppose que tous les mouvements du mécanisme sont déterminés et que, par suite, un élément cinématique porté par un corps a pour enveloppe l'élément cinématique conjugué porté par l'autre dans le mouvement rotatif du premier corps par rapport au second. Suivant cette manière de voir, tout couple d'éléments ne devrait présenter qu'un mouvement unique, être à liaison complète. En conséquence, l'emploi du couple sphérique, du couple plan, seraient des anomalies que l'auteur ne parvient à expliquer que par une intervention spéciale des forces, ainsi que nous l'avons déjà expliqué.
Pour nous, au contraire, une telle restriction n'existe pas. Bien plus, nous introduirons dans un instant un élément dont la notion va directement à Tencontre de cette restriction.
Nous devons auparavant définir ce que nous appellerons un système binaire.
La position relative de deux corps solides dépend de six paramètres.
Imaginons qu'entre ces six paramètres on établisse un certain nombre de relations, d'origine géométrique ou analytique, peu importe. Nous n'excluons pas du reste l'hypothèse où certaines de ces relations seraient des équations difTérentielles. A ce système de deux corps dont les six péramètres de position relative sont liés par des conditions, nous donnons le nom de système binaire.
La notion de système binaire est toute abstraite. A la théorie des mécanismes il appartient d'essayer d'en réaliser le guidage, c'est-àdire d'établir un mécanisme dans lequel l'état de gêne relatif des deux corps soit précisément celui qui est prévu dans le système binaire.
Nous appellerons liberté du système binaire, le nombre des paramètres, au plus égal à six, qui restent indépendants.
Si, par exemple, les deux corps doivent avoir un point fixe commun, on sait que leurs positions relatives ne dépendent plus que de trois paramètres, ils forment un système binaire du degré 3 de liberté.
Considérons maintenant deux corps, A et B, unis par un couple d'éléments cinématiques établi entre eux. Le fait même de l'existence de ce couple produit un certain état de gêne entre A et B, en sorte qu'ils forment un système binaire dont nous dirons qu'il est guidé par ce couple. Nous pourrons alors appeler liberté du couple la liberté même du système binaire dont il réalise le guidage.
Par exemple, la liberté du couple sphérique (sphère pleine dans sa forme en creux) sera égale à trois.
Un système binaire pris au hasard n'est pas toujours susceptible d'un guidage par couple.
En eflTet, dans un couple les liaisons se traduisent toutes par des contacts de surface. Donc, pour qu'un système binaire soit directement téalisable par le moyen d'un couple, il faudra : i° en pre-
mier lieu, que toutes les conditions analytiques existantes entre les paramètres soient finies et équivalentes à des équations traduisant k contact de certaines surfaces.
2° Il faudra, en second lieu, que, cette première condition étant rt^mplie. les surfaces qui doivent entrer en contact, physiquement réalisées, puissent effectivement se toucher. Or, cela n'a pas toujours ]i*îu, car on ne pourra jamais, par exemple, faire entrer en contact un plan et un hyperboloide à une nappe physiquement réalisés, ni tendu que ce contact implique la pénétration des deux siïiv fnccs.
Supposons enfin ces deux conditions remplies et les contacts étalais ; tant qu'ils subsistent, l'état des liaisons est bien celui que t^iippose le système binaire, mais il faut nous souvenir qu'un mécanisme peut fort bien admettre des déplacements dissociatifs, et ceci nous amène à nous demander ce que peuvent bien être ces déplacements dissociatifs dans les couples d'éléments.
Supposons qu'un corps A et un corps B soient en contact par une surface Si pratiquée sur A et par une surface S'i pratiquée sur H, Soit Ml le point de contact, MiN^ la normale commune dirigée vers l'intérieur du corps A que nous regardons comme fixe. Iissayons d'imprimer un déplacement infiniment petit 2) au corps B par rapport au corps A, dans le temps infiniment petit dt ; le point Mi aura une certaine vitesse MiVi, dont nous désignerons par Jloi l;i projection sur la normale MiNi. Si dh^ est positif, c'est-à-dire si la projection de la vitesse a le sens MiNj, le déplacement 3> aurait pour effet de ftiire pénétrer le point Mi à l'intérieur du corps A, \\ en est empêché par l'impénétrabilité de ce corps. Le déplacement ^iS ne pourra donc se produire par suite de la butée en Mi du corps [\ contre le corps A, nous dirons qu'il y a au point Mi appui conire le déplacement 3).
On sait d'ailleurs, par un théorème de cinématique générale, que 5^i le déplacement 3) est compatible avec la persistance du contact t!es surfaces Si et S'i, la vitesse du point Mi est dans le plan tant^ent commun aux deux surfaces et Jbj est nul. Si donc Ah^ était négatif, c'est-à-dire, si la vitesse de M i se projetait en sens inverse tle MiNi, d'une part, il n'y aurait plus butée de B sur A au point Ml et en second lieu si le déplacement 2) venait à se produire le contact des surfaces Si et S'i cesserait. Le déplacement 3) se pré-
sente donc comme dissoclatif à l'égard du contact des deux sur faces Si et S\.
Ceci posé, étant donné qu'un couple d'éléments suppose ordinairement plusieurs contacts entre les deux corps, désignons par Si, S^, Sg, .... des surfaces pratiquées sur le corpsA,parS\, S\, S\, .... des surfaces pratiquées sur le corps B, respectivement conjuguées des
premières, en sorte que M,, Ma, Mg soient les points de contact
respectifs et Mt Ni, M2N2,M3N3, .... les normales menées vers l'intérieur du corps A. Nous prendrons encore un déplacement infiniment petit 3), s'effectuant dans le temps dt et nous représenterons par Jbi, Jbj, JW93, .... les projections sur les normales des vitesses des points Ml, Ma, M3, .... dans ce déplacement; d'après cequi précède, si seulement une des quantités M>i est positive, il y a appui contre ce déplacement. Si, au contraire, le déplacement peut se produire avec conservation de tous les contacts, autrement dit, si le déplacement est conservatif et résulte du jeu normal des liaisons tous les M>i devront être nuls. Reste donc le cas où aucun des Jb» n'étant positif, tous les M)i ne sont pas nuls et où par conséquent les Mi sont nuls ou négatifs.
Dans ce cas, le déplacement sera dissocia tif pour tous les contacts où M)i sera négatif.
Pour nous rendre mieux compte de ces déplacements dissocia tifs, considérons l'un d'eux 3) et soit % le déplacement 3) effectué en sens inverse. Pour le déplacement 3)o, les vitesses seront directement opposées à celles du déplacement 3) ; en particulier, les projections Jlibi relatives à ce déplacement % seront égales et de signes contraires à celles du déplacement 3). Or, par hypothèse, pour le déplacement 3) tous les Moi étaient nuls ou négatifs. Donc pour le déplacement % ils seront tous nuls ou positifs. En conséquence, il y aura appui contre le déplacement 3)o. précisément aux points où le contact se trouve dissocié par le déplacement 3).
En résumé, les déplacements dissociatifs sont tels qu'il y a appui contre leur opposé : pour ce motif nous les appelons monocinétiques f locution qui rappelle qu'ils ne peuvent se produire que dans un sens. Ils sont caractérisés par ce fait qu'aucun des Mi n'est positif et que certains d*entre eux sont négatifs.
En opposition avec ces déplacements sont les mouvements conservatifs, pour lesquels les Mi sont tous nuls, susceptibles de
s*effectuer dans les deux sens, et appelés pour ce motif diciné" tiques.
Ces derniers sont les seuls qui correspondent aux difTérents états du système binaire, puisque dès qu'un déplacement monocinélique vient à se produire, le couple est aussitôt dissocié et le système binaire cesse d'être réalisé.
Nous appelons parfaits les couples d'éléments dénués de déplacements monocinétiques et imparfaits ceux qui en possèdent.
Prenons, par exemple, le couple vis et écrou, constitué sous la forme d'un écrou ordinaire enveloppant une vis pratiquée sur un noyau cylindrique. Nous aurons là un type de couple parfait.
Supposons, au contraire, ainsi que cela se rencontre quelquefois, notamment dans certaines machines à diviser, que Ton ait coupé en deux parties égales l 'écrou, au moyen d'un plan méridien et supprimé Tune des deux moitiés, nous aurons alors un couple imparfait, attendu que l'ablation immédiate de l'écrou est devenue possible grâce à un déplacement de translation normal à l'axe de la vis.
Il nous est actuellement possible de définir ce que nous enten- . dons par clôture. On va se rendre compte de l'essentielle . différence avec la notion h laquelle Reuleaux a donné le même nom.
Nous appelons clôture d'un couple imparfait tout procédé, quel qu'il soit, qui a pour effet d'empêcher les déplacements monocinétiques de se produire. Il y aura en premier lieu les procédés de clôture par abstention de forces, qui consiste à écarter les forces susceptibles de provoquer ces déplacements. Il y a, en second lieu, des procédés cinématiques de clôture, comme nous le montrerons . plus loin.
Il est bon d'observer que tel couple qui, dans une série continue dépositions, se présente comme parfart, peutfort bien admettre des déplacements monocinétiques dans certaines positions particulières pour lesquelles il est dès lors imparfait. On dira de tels couples qu'ils sont accidentellement imparfaits.
Exemple : La clé forme dans la serrure un couple rotoïde qui est accidentellement imparfait, car lorsque l'on amène la clé en face de la fente verticale de la serrure, un déplacement monocinétiqne devient possible, qui permet l'ablation de la clé.
Il convient de noter que les déplacements monocinétiques ne sont pas rigoureusement les seuls qui permettent le démontage d'un couple d'éléments. Un déplacement dicinétique pourra produire le même eflet, mais il faudra pour cela que le point de contact des deux profils conjugués se trouve sur la ligne limite au delà de laquelle un profil cesse d'être réalisé physiquement. Si dans ce cas le déplacement entraîne le point de contact sur la région virtuelle de la surface, le contact se trouve aussitôt dissocié. C'est ainsi que se dissocie le couple vis et écrou ordinaire, c'est-à-dire avec forme enveloppante de l 'écrou.
10. — Les affections susceptibles d'une définition générale que peuvent présenter les couples ne se bornent pas aux propriétés d'être parfait ou imparfait, ou accidentellement imparfait, d'admettre des déplacements dissociatifs aux limites. Us jouissent d'autres propriétés, les unes qui résultent de la comparaison des couples entre eux, les autres qui sont en quelque sorte intrinsèques ; d'autres enfin résultent du rôle du couple dans le mécanisme où il est inclus.
Deux couples, par exemple, seront équivalents s'ils donnent lieu au guidage du même système binaire.
Imaginons alors que pour guider un même système binaire on ait eu recours d'abord, dans une certaine succession de positions, à un couple d'éléments C^ puis à un couple d'éléments équivalents Cgjpuis à un couple d'éléments équivalents 63 et ainsi de suite, en sorte que le guidage passe successivement d'un couple à l'autre ; il y aura continuité dans le guidage, mais discontinuité dans les couples, aussi regarderons-nous les couples C^, e^, Cg, ... comme formant un seul couple, mais un couple discontinu.
Les engrenages constituent un type courant de ces couples.
La considération des contacts peut fournir certains autres caractères.
Si, par exemple, le nombre des contacts et des appuis est plus grand qu'il ne serait strictement nécessaire, le couple sera dit ^arahondant.
Presque tous les couples discontinus sont surabondants dans certaines postions.
En effet, lorsque le guidage passe d'un coupJe ^y au couple
Cj, pour éviter qu'au moment de la transition le guidage ne soit incertain, ou ne fait perdre prise au couple Ci qu'un peu après que Cj est entré en prise. Donc pendant un court instant le couple est surabondant.
L'étendue des contacts est aussi un élément important.
Il y a des couples pour lesquels ce contact a lieu suivant une étendue finie de surface, en sorte que, sur certaines de leurs parties, les corps représentent les deux côtés d'une même surface, et s'emboîtent l'un dans l'autre suivant celte surface.
Ces couples sont les couples (T emboîtement.
En général, l'emboîtement entraîne l'assemblage des deux corps, c'est-à-dire que le couple a une liberté nulle.
Il y a toutefois des couples d'emboîtement cinétiques, c'est-àdire possédant un certain degré de liberté.
Leur détermination est des plus aisée, par un raisonnement élémentaire.
Il y a six couples cinétiques d'emboîtement. Trois du premier degré de liberté :
i** Le couple vis, réalisé par une surface hélicoïde et sa contrepartie (vis et écrou).
2** Le couple rotoïde, réalisé par une surface de révolution et sa contre-partie (tourillon et coussinet).
3** Le couple prismatique, réalisé par un prisme et sa contrepartie (glissière rectiligne).
Il y a un couple d'emboîtement du degré 2 de liberté.
4® Le couple Verrou, réalisé par un cylindre de révolution et sa forme en creux (verrouillages).
Enfin deux couples d'emboîtement ont trois degrés de liberté :
5*^ Le couple sphérique, réalisé par une sphère pleine dans sa forme en creux (joint à genou) ;
6° Le couple plan, réalisé par deux surfaces planes en contact (trusquin).
Dans la plupart des autres cas, les contacts ont lieu à chaque instant suivant des lignes, des droites le plus souvent et les surfaces en prise sont alors presque toujours des cônes ou des cylindres.
Enfin, dans quelques cas plus rares, les contacts sont seulement ponctuels, c'est-à-dire qu'ils ont lieu en des points isolés.
