TRANSFORMATIONS

16. — L*idée de transformation, qui est si féconde en géoméirie et en analyse, s'étend aux mécanismes. Nous appelons transformation tout procédé général qui permet de passer d'un mécanisme à un autre. Quand nous disons procédé général, nous entendons un procédé qui peut être défini à priori^ indépendamment du mécanisme particulier auquel on lappliquc.

Ce qui fait l'importance des transformations c'est qu'elles permettent d'établir des rapprochements entre des mécanismes que leur aspect extérieur semble de prime abord éloigner les uns des autres et par là elles contribuent à celte unité si précieuse dans les choses de science.

Les transformations, appliquées à des mécanismes connus, donnent l'idée de combinaisons nouvelles et peuvent ainsi servir de guide à l'inventeur.

Les transformations sont de deux sortes : Les unes intéressent seulement les couples, les autres intéressent les chaînes.

Un premier mode consistera à remplacer un couple par un couple équivalent.

L'équivalence sera stricte si les deux couples offrent les mêmes déplacements monocinéliques. Exemple : l'élargissement du tourillon dans le couple roloïde.

L'équivalence sera non stricte, si les déplacements monocinétiques ne sont pas les mêmes. Il y aura rédaction de couple si de nouveaux déplacements monocinétiques s'introduisent. Nous disons réduction car ce phénomène est consécutif à une réduction des contacts.

Par exemple : dans le dispositif ordinaire de la vis et de Técrou (couple parfait), si l'on vient à supprimer une moitié de l'écrou, le couple réalise toujours le même système binaire, seulement il a acquis un déplacement monocinétique.

Le cas inverse sera celui du renforcement de couple, dans lequel le nouveau couple, ayant acquis plus de contacts que le premier, a perdu des déplacements monocinétiques.

Exemple : Pour réaliser le couple plan on peut, comme dans le trusquin, mettre simplement deux corps en contact suivant une face pleine. Ce couple est imparfait, mais si Ton réalise Tun des corps sous forme d'une plaque limitée par deux faces planes parallèles, insérée dans une cavité qui en soit la contre-partie, le couple plan ainsi réalisé est parfait, il résulte du premier par renforcement.

On effectuera encore une transformation par couple équivalent

si, pour réaliser le couple sphérique, on substitue à la sphère

creuse les faces d'un polyèdre circonscrit à la sphère pleine, etc.

Les couples qui servent à guider certains systèmes binaires

donnent lieu à une transformation spéciale : Y interversion.

Supposons un système binaire symétrique, c est-à-dire, dans lequel les deux corps A et B entrent symétriquement, dans lequel, par conséquent, l'état de gêne de A par rapport à B soit identique à rétat de gêne de B par rapport à A.

Exemples : Tous les systèmes binaires réalisés par les couples cinétiques d'emboitement, le roulement sur son propre décalque d'une courbe plane admettant pour centre de symétrie l'un de ses points, etc.. Si, pour réaliser par couple un tel système binaire on a pratiqué certains profils S sur le corps A et certains profils conjugués S' sur le corps B, il est bien clair que l'on peut transposer, intervertir ces profils et pratiquer sur B les profils S et sur A les profils S' ; cela résulte de la symétrie même qui a été supposée. Un autre genre de transformations qui porte, lui, sur le système binaire lui-même consiste dans la dégénérescence.

La dégénérescence se produit lorsque les éléments géométriques qui interviennent dans la définition du système binaire viennent à recevoir des déterminations singulières limites, par lesquelles le couple lui-même doit être considéré comme un état limite du premier.

C'est ainsi que le couple rotoïde et le couple prismatique peuvent être considérés comme des états limites, des dégénérescences du couple vis.

Le couple prismatique lui-même peut être considéré aussi comme une dégénérescence du couple rotoïde.

Si Ton réalise en effet celui-ci sous la forme d un sabot circulaire engagé dans une rainure circulaire, il suffit de supposer infmi le rayon moyen de la rainure pour obtenir un sabot et une rainures cylindriques et réaliser le couple prismatique.

Cette remarque permet de faire dériver du quadrilatère articulé un grand nombre de dispositifs à glissières rectilignes.

17. — Les transformations qui portent sur les chaînes offrent bien plus de variété.

Par exemple, on peut regarder comme constituant une transformation, le fait de prendre comme marche fixe d'une chaîne un membre qui était primitivement mobile et de rendre sa liberté au membre qui était précédemment fixé.

C'est ainsi que le train d'engrenages, devient, par la fixation d'une roue, le train épicycloïdal. Un cable mobile sur une poulie fixe devient par la fixation du câble le trolley des tramways électriques.

Dans ce genre de transformation la constitution de la chaîne n'est pas changée. Il n'en est pas de même dans les suivants.

Il arrive que Ton puisse, dans une chaîne C, supprimer certains membres et maintenir entre les membres restants les mêmes systèmes binaires en établissant entr'eux des couples appropriés. On a alors opéré une transformation par rédaction de chaîne.

Prenons, par exemple, une bielle B, s'articulant autour d'axes parallèles, par le moyen de couples roloïdes à deux autres corps A et A'. Appelons et 0' les sections des axes de rotation par un même plan normal tt. La bielle réalise ce fait que les points et 0^ restent à une distance invariable l'un de l'autre. On pourra arriver au même résultat en pratiquant dans le corps A une rainure circulaire du centre et dans le corps A' un bouton de centre 0' s'engageant dans cette rainure. La construction de ce couple permet d'enlever la bielle B ; on a réalisé une transformation par réduction de chaîne.

L'opération inverse de celle-là sera la transformation par adjonction de membres, dans laquelle on supprime certains couples pour remplacer leur action par des membres supplémentaires.

Exemple. — Pour réaliser le mouvement de Tellipsographe, on peut prendre une tige MN, munir ses extrémités de boulons de centres M et N, et engager ces boutons dans deux rainures rectilignes à angle droit, dont les lignes moyennes se croisent en un point 0. Dans ces conditions, tout point solidaire de MN décrit une ellipse. Mais on observe que le milieu P de MN reste à une distance invariable PM = PN du point 0. On pourra donc relier ces deux points par une manivelle OP. L'introduction de cette manivelle permet la suppression de Tune des rainures et l'appareil est devenu un renvoi de transmission rectiligne à angle droit.

Supposons que ce soit la rainure et le bouton N qui aient été supprimés. On peut regarder la rainure rectiligne M comme le cas limite d'une rainure circulaire.

Plaçons-nous donc dans le cas d'une rainure circulaire dont le centre Oi de la ligne moyenne ne serait pas rejeté à l'infini. Ici encore, on pourra substituer au couple bouton-rainure une manivelle Oi M.

C'est le balancier d'Oliver Evans que nous obtenons ainsi. De la sorte, le balancier d'Oliver Evans apparaît comme un moyen approché de réaliser le mouvement de l'ellipsographe.

On peut déjà se rendre compte sur cet exemple si simple combien l'emploi des transformations rend compréhensifs des rapports qui sans elles resteraient cachés.

Un cas particulier et fort répandu de transformation par adjonction de membre, est celui des systèmes binaires décomposables.

Soient deux corps A et B formant un système binaire de liberté L, il peut arriver que l'on puisse trouver un corps G formant avec A un système binaire de liberté h', moindre que L, et avec B un système binaire de liberté L-L'. Le système binaire (A, B) résulte alors en quelque sorte de la composition des systèmes binaires (A, C) et (G, B).

Alors, si un couple d'éléments réalisait primitivement le guidage du système binaire (A, B), au lieu de ce couple on pourra introduire le nouveau membre C, relié à A par un couple qui

— ho —

réalise le système binaire (A, C) et à B par un autre couple qui réalise le système binaire (C, B).

C'est, par exemple, le cas du couple verrou. Au lieu de ce couple, supposé établi entre les deux corps A et B, on pourra établir un couple rotoïde entre le corps A et un corps auxiliaire G, puis établir un couple prismatique entre les corps B et C. La superposition de ces deux couples à un paramètre, produit le même efifet que le couple verrou tout seul.

Il y a même des cas où le nombre de paramètres du système binaire (A, B) étant supérieur à 2, la décomposition comporte plus d'un corps auxiliaire.

C'est le cas du couple spbérique et du couple plan. On sait, par exemple, que le joint à genou peut être remplacé par trois articulations. Le couple plan, par deux glissières rectilignes à angle droit et un couple rotoïde dont l'axe est normal aux directions des deux glissières.

Nous signalerons pour terminer et sans y insister ici autrement, un dernier cas de transformation par chaîne, celui qui consiste à remplacer une partie des membres par d'autres et à opérer ainsi une substitution partielle des membres.

Les exemples de cette transformation sont des plus nombreux.

Par exemple, si A B C D est le losange de l'inverseur Peaucellier et A, C les deux brides, si l'on prend sur la diagonale A C du losange un point A' qu'on relie par des brides articulées aux points B, D, 0, on pourra substituer ces brides aux tiges A D, A B, A et au losange le quadrilatère articulé à diagonales rectangulaires A' B C D. Les points 0, B, D satisferont encore aux relations essentielles à l'appareil.