II
La nature de ces séries de variables est caractérisée typographiquement par la position de l'indice de chaque variable.
Nousi allons alors partir d'un nombre quelconque de ces séries et en former des fonctions dont la nature pour l'instant pourra nous paraître essentiellement formelle ; c'est plus tard (chap. III) que nous en verrons l'origine véritable. Néanmoins puisque les notions développées jusqu'ici nous permettent d'élaborer déjà la notion de tenseur, il est naturel que nous tirions de ces notions-là tout ce qu'elles peuvent donner.
Choisissons un système de coordonnées (Ui,...u«) et soient k séries de variables, q covariantes et p ccHitravariantes : ($\...E'*), (V-. .>>•), (Çi...Çn), (t^.-.t'*) (pour fixer les idées, prenons p = 5,
^ = 1 ; fe = 4).
Avec ces séries, construisons une forme qui soit linéaire par rapport à chacune d^elles; elle est donc de degré k en l'ensemble des séries. Le terme général de cette fonction F est donc un monôme qui contient une fois et une seule une variable de chaque série, soit : iVi^t^iX*" ; désignons par Oii^r le coefficient de ce monôm^. La fonction F s'écrit donc :
wt* >
la sommation étant étendue à tous les arrangemenU «i>ec répétitions des n indices 1, 2, ... n pris h à k.
Posons encore que la valeur de F est indépendante du système de coordonnées choisi. F est dit alors un ien&ear du &*^"»* ordre (4® ordre), p fois caoatiani (3 fois covariant) et q lois oontr€Bùanani (1 fois contra variant) ; les coefficicpts on'^r sont dits les composantes du tenseui: F dans le système de coordonnées considéré.
Changeons maintenant de système de coordonnées ; et soient {Ui,...Un) les nouveaux vecteurs de base liés aux anciens par les formules (1) et (2). Que devient alors la forme de F ? F s'exprimera dans le nouveau système au moyen des variables sur-
lignées liées aux anciennes par des formules du type I ou du type II suivant leur nature ; puisque ces formules sont linéaires, il s'ensuit que F est encore une fonction linéaire en chacune des k séries de n variables suriignées:
en désignant par Ost « le coefficient du produit I t7 îu'' .
Un tenseur conserve donc la même forme quel que soit le système de coordonnées auquel il est rapporté. Ses composantes ont évidemment changé ; quelles relations y a-t-il entre les nouvelles et les anciennes ? Puisqu'on a :
2 âst\r^%7 = 21 ^il'^ri'^'^rnxr (1)
et que cette égalité doit avoir lieu quels que soient les nombres i, Tj, ^, T, et 5, T], ^, T liés par des relations (I) ou (II) suivant leur nature, il s'ensuit qu'elle est une identité par rapport à certaines d'entre elles (les nouvelles, par exemple) quand on a remplacé les autres (les anciennes) par leurs expressions en fonctions de celles-là (des nouvelles). Faisons ce remplacement, il vient :
