PREMIERE DEFINITION DES TENSEURS

ALGEBRE TENSORIELLE

-Si Von avait exprimé que l'égalité (1) est une identité en les variables Ç, Ti, ^, T, on eût obtenu : ' '

Utl r

Les composantes du tendeur F se transforment donc suivant des formules linéaires ; elles se transforment d'ailleurs, comme il est aisé de le voir, de la même manière que les produits de variables d'espèces convenables : les Oii^r se transforment comme un produit de la forme Xif^^v^^'p^ (par conséquent a^i^v se transforme comme le produit : VîJL/v"p»)-

C'est cette remarque qui justifie les dénominations suivantes : On dit que le tenseur F est çovàriant suivant les indices î, Z, r et qu'il est contra variant suivant l'indice m. C'est pourquoi nous avons représenté les composantes du tenseur au irioyen d'une lettre affectée d'indices placés d'une manière qui, à preinière vue, paraît incompréhensible, mais dont on voit bien maintenant la raison. Pour Tinstant, rien ne nous oblige d'ailleurs à écrire (2ii"V, on aurait pu aussi bien écrire afi^. Mais plus tard, des distinctions assez délicates nous contraindront à utiliser la première notation plutôt que la seconde.

Par conséquent, ce qui ca'ractérise un tenseur, c'est tout d'abord son ordre (k) puis sa nature qu'on représente par la position des indices de ses composantes (p fois covariant, et q fois contra variant) .

On voit d'autre part que ce qui emporte dans la définition du tenseur F, ce ne sont pas tant les séries particulières ; ï*, rfy Cm» "^^ au moyen desquelles il s'exprime, que la nature même de ces séries, et par suite la nature des composantes a^^^r^ Une fois que Tordre et la nature du tenseur sont définis et que ses composantes sont données, celles-ci fonctionnent dans leur ensemble comme un opêrateur, créant des formes multilinéaires, et qui appliqué à certaines séries de variables dont l'espèce est bien déterminée, mais dont le choix est arbitraire, donne des nombres indépendants du système de coordonnées choisi. Par exemple, les Oif'r, appliquées dans leur ensemble aux variables l\ ti', C;„,TYdonnent un^ nombre F indépendant du système de coordonnées, c'est pourquoi on dit que F est un invariant ; de même si on les applique à 4 séries de variables X*, p**, on obtient un tenseur

% SNinODUCL'EIQZ& AU GALCUIL TENSORIBL.

qui est un nombre dépendant de ces séries, bien entendu, mais indépendant du système de coordonnées choisi, c'est-à-dire que Ton a encore :

ff =^-2 ^«^'^'•^V ^»»P •

Ces remarques évidentes auront leur importance dans îa suite.

Les opérations fondamentales de raf^bre tensorîelle sont : Faddîtiofii la multiplication et la contriiction.

Addition. — La somme de h tenseurs du même ordre et de même nature, portant sur les mêmes séries de variables est un tenseur de même ordre et de même nature. Les composantes du tenseur somme sont égales respectivement à la scHnme des composantes de mêmes indices des tenseurs donnés.

Ce théorème est évident ; prenons un exemple où h = 2. Soient:

iJmr

ilmr •

deux tenseurs de même ordre et de même nature ; le tenseur :

ilmr

Cl""" = aa"" -+■ *«""•

est égal à ta sorame des d'eux tensears donnés :

Cette règle iL'est pas autre chose que la règle qui dcame la somtoac de deux polynômies par réduction des termes semblables.

Multiplication. — Soient deux tenseurs

F = ^aiuVn

k ik

G = yjnk^